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Cours 1 introduction aux differences finies

Modélisation Discrétisation et Simulation Numérique Lyes DOUADJI Département de Génie Électrique d ? Électronique INELEC Faculté Sciences l ? Ingénieur Université de Boumerdès CModèle pourquoi modéliser Qu'est-ce qu'un modèle Le principe d'un modèle est de remplacer un système complexe en un objet ou opérateur simple reproduisant les aspects ou comportements principaux de l'original exemples modèle réduit maquette modèle mathématique ou numérique modèle de pensée ou raisonnement Pourquoi faut-il modéliser Dans la nature les systèmes et phénomènes physiques les plus intéressants sont aussi les plus complexes à étudier Ils sont souvent régis par un grand nombre de paramètres non- linéaires interagissant entre eux la météorologie la turbulence des uides CQuels sont les di ?érents modèles L'une des solutions est de recourir à une série d'expériences pour analyser les paramètres et grandeurs du système Mais les essais peuvent s'avérer très coûteux essais en vol essais avec matériaux rares instrumentations très chères et ils peuvent être très dangereux essais nucléaires environnement spatial En ?n il peut être di ?cile de mesurer tous les paramètres échelles du problème trop petites couche limite en uide ou trop grandes astrophysique météorologie géophysique CQuels sont les di ?érents modèles - Suite On peut aussi construire un modèle mathématique permettant la représentation du phénomène physique Ces modèles utilisent très souvent des systèmes d'équations aux dérivées partielles EDP non linéaires dont on ne conna? t pas de solutions analytiques en général Il faut alors résoudre le problème numériquement en transformant les équations continues de la physique en un problème discret sur un certain domaine de calcul le maillage Dans certains cas il s'agit de la seule alternative nucléaire astrophysique spatial Dans d'autres cas les simulations numériques sont menées en parallèle avec des expérimentations CDe la modélisation à la simulation numérique Les di ?érentes étapes de la modélisation ? Recherche d'un modèle mathématique représentant la physique Mise en équation ? Élaboration d'un maillage Discrétisation des équations de la physique ? Résolution des équations discrètes souvent systèmes linéaires à résoudre ? Transcription informatique et programmation des relations discrètes ? Simulation numérique et exploitation des résultats CExemple Écoulement Stationnaire Incompressible sur une marche descendante Mise en équation CExemple -Suite Élaboration d'un maillage Discrétisation des équations de la physique Résolution des équations discrètes Transcription informatique et programmation Simulation numérique et exploitation des résultats CNotion de stabilité On distingue trois types de stabilité ? La stabilité d'un problème physique ? La stabilité d'un problème mathématique ? La stabilité numérique d'une méthode de calcul CStabilité d'un problème physique système chaotique Un problème est dit chaotique si une petite variation des données initiales entra? ne une variation totalement imprévisible des résultats Cette notion de chaos liée à la physique d'un problème est indépendante du modèle mathématique utilisé et encore plus de la méthode numérique utilisée pour résoudre ce problème mathématique De nombreux problèmes sont chaotiques par exemple la turbulence des uides CStabilité d'un problème mathématique sensibilité Un problème est dit très sensible ou mal conditionné si une petite variation des données ou des paramètres entra? ne