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Transformation de laplace definition proprietes et exemples d utilisation en physique 1 1

Lycée Montaigne Bordeaux Mathématiques spéciales MP Octobre Cours de physique Transformation de Laplace Transformation de Laplace dé ?nition propriétés et exemples d ? utilisation en physique Table des matières I Dé ?nition propriétés et principe de calcul Introduction Intégrale de Laplace Expression Existence de l ? intégrale abscisse de sommabilité Transformée de Laplace d ? une fonction Propriétés fondamentales Linéarité Convergence Changement d ? échelle Théorème du retard T L d ? une dérivée T L d ? une intégrale ou primitive T L d ? une fonction périodique dé ?nie pour t ? Théorème de la valeur initiale - Théorème de la valeur ?nale Théorème de la valeur initiale Théorème de la valeur ?nale Exemples de calculs de T L Fonction de Heaviside Impulsion de Dirac Fonction exponentielle Tableau récapitulatif de quelques T L II Application de la T L en physique Principe Exemple en analyse du signal caractéristiques d ? un circuit RLC à l ? aide d ? une im- pulsion de Dirac Formalisme de Laplace en électricité Fonction de transfert opérationnelle Impédance opérationnelle Exemples d ? analyses du comportement d ? un circuit Réponse indicielle échelon Réponse impulsionnelle impulsion de Dirac GRAYE Jean-Laurent Page sur Année - CLycée Montaigne Bordeaux Mathématiques spéciales MP Octobre Cours de physique Transformation de Laplace Première partie Dé ?nition propriétés et principe de calcul Introduction Lors des études menées sur les systèmes linéaires dans les deux premières années post-baccalauréat il est réservé une place très importante pour ne pas dire prépondérante aux signaux périodiques et dans une assez large majorité des cas les signaux sont purement sinuso? daux L ? étude d ? un système soumis à une contrainte harmonique circuit RLC soumis à un signal sinuso? dal amortisseur soumis à un générateur de force sinuso? dal etc fournit en e ?et de précieux renseignements comme le coe ?cient d ? amortissement la pulsation de résonance etc L ? analyse du comportement d ? un tel système est souvent présenté à l ? aide d ? un spectre de réponse en fréquence Diagramme de Bode en électronique courbe de résonance en mécanique L ? outil communément utilisé est alors la Transformation de Fourier Transformée de Fourier Rapide sur un ordinateur TFR qui constitue une extension du concept de développement en série de Fourier mais cette fois pour un signal de durée ?nie Cependant il n ? est pas rare de rencontrer des systèmes soumis à des contraintes non périodiques comme des impulsions de courte durée impulsion de Dirac ou des fonctions de type échelon fonction de Heaviside l ? utilisation de la TF est alors inappropriée L ? outil adapté à l ? analyse des signaux quelconques est l ? intégrale de Laplace appelée sous certaines conditions d ? existence Transformée de Laplace Ce document propose un présentation rapide des propriétés de la Transformation de Laplace et expose quelques applications dans le domaine de l ? électrocinétique les résultats étant facilement transposables à tout autre domaine de la physique régi par