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Devoir 15 analyse numerique epreuve pdf

informatique commune Contrôle d ? informatique Durée heure Exercice On considère une fonction f R ? R de classe C ainsi que deux réels a ?? R et h On rappelle ou on x admet que la fonction F x ? f t dt est une application de classe C telle que ??x ?? R F x f x a a Déterminez les valeurs à choisir pour les coe ?cients et ? de telle manière que la formule a h f t dt ?? f a ?f a h a soit exacte pour des polynômes de degré le plus haut possible On suppose désormais et ? ainsi choisis a h b On note I f t dt I h f a ?f a h et R h I ?? I h a En appliquant la formule de Taylor-Young à la fonction R prouver que h R h ?? f a ?? h f a o h c En utilisant la formule d ? intégration donner une approximation de a h a h I f t dt et I f t dt a a h puis en écrivant que I I I donner une approximation de I notée J h d On dé ?nit r h I ?? J h Par un calcul analogue à celui de la question b et qu ? on ne demande pas d ? e ?ectuer on obtient r h ?? h f a ?? h f a o h En déduire des coe ?cients constants ? et tels que ?J h I h I ch o h o? c est une constante à déterminer e À quelle méthode d ? intégration numérique correspond l ? approximation de I par ?J h I h Exercice On considère un polynôme p à coe ?cients réels de degré inférieur ou égal à n p x anxn an ?? xn ?? a x a x a représenté en machine par le tableau de ces coe ?cients a a an ?? an a À tout réel on associe la suite ?nie b b bn dé ?nie par les relations bn an et ??i ?? n ?? bi ai bi et on note p le polynôme p x bnxn ?? bn ?? xn ?? b x b Montrer que p x x ?? p x b De la formule précédente il résulte immédiatement que b p On appelle schéma de H? rner l ? algorithme de calcul de p à l ? aide des relations Cet algorithme est souvent utilisé pour évaluer p car il provoque moins d ? erreurs numériques qu ? une démarche na? ve b Exprimer p en fonction de p et de et en déduire à l ? aide du schéma de H? rner une suite ?nie c cn telle que p c c L ? algorithme de Newton-H? rner est une méthode d ? approximation d ? une racine d ? un polynôme p obtenue en appliquant la méthode de Newton-Raphson à p mais en évaluant