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Fonctions de plusieurs variables et applications pour l ingenieur

Service Commun de Formation Continue Année Universitaire - Fonctions de plusieurs variables et applications pour l ? ingénieur Polycopié de cours Rédigé par Yannick Privat Bureau - Institut Élie Cartan Nancy Mathématiques - Université Henri Poincaré Nancy B P F- Vandoeuvre-lès-Nancy Cedex e-mail Yannick Privat iecn u- nancy fr Cii CAvant-Propos Ce cours présente les concepts fondamentaux de l ? Analyse des fonctions de plusieurs variables Les premiers chapitres généralisent les notions de limite dérivabilité et dévelopement limité bien connus dans le cas des fonctions d ? une variable Nous ne rechercherons pas dans ce cours une formalisation mathématique théorique de ces concepts mais nous intéresserons au contraire à leurs nombreuses applications dans le domaine de la Physique Nous ciblerons trois axes principaux de développement ? l ? optimisation recherche d ? extremums minimisaton d ? une énergie etc ? les équations aux dérivées partielles équation de la chaleur équation des cordes vibrantes des ondes etc ? l ? intégration calculs de moments d ? inertie de ux etc Travail personnel de préparation le premier chapitre présente des pré-requis utiles pour bien aborder ce cours Je vous demande donc de l ? étudier sérieusement pour la première séance et de noter toutes les questions que vous vous posez a ?n que nous en discutions en cours Yannick Privat iii Civ CTable des matières Introduction à l ? étude des fonctions de plusieurs variables Fonctions de deux variables à valeurs réelles Exemple mathématique et dé ?nition Exemple en Physique Représentation graphique d ? une fonction à deux variables Dérivées partielles Rappel dérivation d ? une fonction de R dans R Calcul de dérivées partielles Dérivées partielles d ? ordre supérieur Fonction de n variables Fonction de trois variables à valeurs réelles Fonctions à valeurs vectorielles Généralisation Exercices du chapitre Calculs de limites et continuité Technique de recherche de limites Cas réel Formes indéterminées Techniques pour lever les indéterminations Fonctions polynôme ou rationnelle Technique du nombre dérivé Développements limités Formule de Taylor-Lagrange Contiuité des fonctions Cas réel Cas des fonctions de R dans R v Cvi TABLE DES MATIÈRES Techniques générales Exercices du chapitre Notion de di ?érentiabilité Applications linéaires Calcul di ?érentiel Dérivée selon un vecteur Fonctions f Rn ?? ? Rp Application di ?érentielle Développement limité Expression explicite de la di ?érentielle Méthode générale de calcul Conséquences de la di ?érentiabilité Notion de gradient Schéma récapitulatif Exercices du chapitre Déterminant Matrice jacobienne Jacobien Matrice jacobienne Di ?érentiabilité des fonctions de Rn dans Rp Généralisation Le Jacobien Notion de C -di ?éomorphisme Généralités Caractérisation Exercices du chapitre Recherche d ? extrema Problèmes liés à la recherche d ? extrema Développement limité à l ? ordre Points critiques et extrema Caractérisation des points critiques Hessienne d ? une fonction Quelques notions d ? Analyse spectrale Cas de la dimension CTABLE DES MATIÈRES vii Exercices du chapitre Introduction aux EDP Équations di ?érentielles Quelques rappels sur les équations di ?érentielles linéaires Un exemple en Physique Équation di ?érentielles linéaires à coe ?cients constants