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Groupe de decomposition pdf

UNIVERSITE MOHAMED PREMIER FACULTE DES SCIENCES DEPRTEMENT DE MATHEMATIQUE ET INFORMATIQUE OUJDA MASTER TNAC S Note de cours détaillé Groupe de Décomposition Préparé par les étudiants Bouchlaghem Sou ?ane Professeur M ? hammed Ziane Année universitaire C CCHAPITRE Groupe de décomposition Groupe de décomposition Soit A un anneau de Dedekind K son corps de fraction et L un extention galoisienne de K de degré n et A la ferméture intégrale de L dans A on sait que A est de Dedekind et posons G Gal L K Soit x ?? A et xr ar ?? xr a une équation de dépendance intégrale ?? ? ?? G on a ? xr ar ?? ? xr a donc ? A ? A en particulier ? ?? A ? A d'oú on a ? A A ?? ? ?? G Soit ? ?? G soit p un premier de A donc pA ?gi pi i oú les pi sont des premiers de A Comme ? est K-isomorphisme alors ? pA ??i ?? ? p ? A g pA et pA ? ?ig gi p pii ?ig ? p i ?ig pi i ?? i CLemme Soit A un anneau p p ps des premiers et b un ideal tel que b pi ??i alors ??a ?? b pi ??i Preuve Supprimons le pi de tel sort qu'on aura pi pj ??i j soit alors xij ?? pj pi on ab pi ?? ??ai ?? b pi posons bi ai ?i jxij on donc bi ?? b pj ??i j et bi non dans pi car pi est premier et si il contient le produit alors il contient l'un et b B bs repond au problème demandé Avec les même notation on consédère l'action de groupe C dé nie comme suit ? G ? p pg ? p pg ? pi ? ? pi Montrons que ? est transitive c-à-d que ??i j ?? g ?? ? ?? G tel que ? pi pj par absurde supposons que ??i j ?? g tel que ?? ? ?? G pj ? pi Donc le lemme nous donne un x ?? pj ? pi ?? ? ?? G on a N x ?gi ? x ?? pj ? A ?? N x ?? pj A p d'autre part x ?? ? ?? pi ?? ? x ?? pi ?? ? ?? G ?? N x ?? pi or N x ?? p ? pA ?kg pk ? pi contradiction avec x ?? ? pi pour ? Id Et par suite ? est transitive Rapelons que le Cxateur de pi F ix pi ? ?? G ? pi pi et l'orbite de pi O pi ? pi ? ?? G et comme ici l'action est transitif alors l'orbite coincidence avec p C pg Le xateur est un sous groupe de G on le note ici D et on l'appelle le groupe de decomposition de pi Proposition D n g Preuve On a F ix pi G O