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04 howmanybullsmf Bulletin de la SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE THE NUMBER OF CONJUGACY CLASSES OF THE CREMONA GROUP Jérémy Blanc Tome Fascicule SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE Publié avec le concours du Centre national de la recherche scienti ?que pages -

Bulletin de la SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE THE NUMBER OF CONJUGACY CLASSES OF THE CREMONA GROUP Jérémy Blanc Tome Fascicule SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE Publié avec le concours du Centre national de la recherche scienti ?que pages - CBull Soc math France p ?? THE NUMBER OF CONJUGACY CLASSES OF ELEMENTS OF THE CREMONA GROUP OF SOME GIVEN FINITE ORDER by Jérémy Blanc Abstract ?? This note presents the study of the conjugacy classes of elements of some given ?nite order n in the Cremona group of the plane In particular it is shown that the number of conjugacy classes is in ?nite if n is even n or n and that it is equal to respectively if n respectively if n and to for all remaining odd orders Some precise representative elements of the classes are given Résumé Le nombre de classes de conjugaison du groupe de Cremona d ? un ordre ?ni donné Cet article présente l ? étude des classes de conjugaisons des éléments d ? ordre ?ni n dans le groupe de Cremona du plan En particulier il est montré que le nombre de classes de conjugaisons est in ?ni si n est pair n ou n et que ce nombre est égal à respectivement si n respectivement si n et à pour les nombres entiers impairs restant Des représentants explicites des classes de conjugaisons sont donnés Introduction Let us recall that a rational transformation of P C is a map of the form x y z x y z x y z x y z Texte reçu le janvier révisé le avril Jérémy Blanc Laboratoire J A Dieudonné UMR Université de Nice Sophia Antipolis ?? CNRS Faculté des Sciences Parc Valrose Nice Cedex France E- mail blancj math unice fr Mathematics Subject Classi ?cation ?? E E E Key words and phrases ?? Cremona group birational transformations conjugacy classes elements of ?nite order BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE ? Société Mathématique de France - C BLANC J where ?? C x y z are homogeneous polynomials of the same degree If such a map has an inverse of the same type we say that it is birational The Cremona group is the group of birational transformations of P C This group has been studied since the th century by many mathematicians One of the ?rst natural questions that we may ask when we study some group is the following Question ?? Given some positive integer n how many conjugacy classes of elements of order n exist in the Cremona group First of all it is important to note that the number of conjugacy classes is at least one for any integer n as the linear automorphism x y z ?? ? x y e i ? nz is a representative element of one class It was proved in that all the linear automorphisms of the plane of the same ?nite order are birationally conjugate the same is true in any dimension see Prop