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asie exo3 Asie Enseignement spéci ?que EXERCICE points commun à tous les candidats Soit k un entier naturel supérieur ou égal à Une urne contient k boules noires et boules blanches Ces k boules sont indiscernables au toucher Une partie consiste à prélever

Asie Enseignement spéci ?que EXERCICE points commun à tous les candidats Soit k un entier naturel supérieur ou égal à Une urne contient k boules noires et boules blanches Ces k boules sont indiscernables au toucher Une partie consiste à prélever au hasard successivement et avec remise deux boules dans cette urne On établit la règle de jeu suivante un joueur perd euros si les deux boules tirées sont de couleur blanche - un joueur perd euro si les deux boules tirées sont de couleur noire - un joueur gagne euros si les deux boules tirées sont de couleurs di ?érentes on dit dans ce cas là qu ? il gagne la partie Partie A Dans la partie A on pose k Ainsi l ? urne contient boules blanches et boules noires indiscernables au toucher Un joueur joue une partie On note p la probabilité que le joueur gagne la partie c ? est-à-dire la probabilité qu ? il ait tiré deux boules de couleurs di ?érentes Démontrer que p Soit n un entier tel que n Un joueur joue n parties identiques et indépendantes On note X la variable aléatoire qui comptabilise le nombre de parties gagnées par le joueur et pn la probabilité que le joueur gagne au moins une fois au cours des n parties a Expliquer pourquoi la variable X suit une loi binomiale de paramètres n et p b Exprimer pn en fonction de n puis calculer p en arrondissant au millième c Déterminer le nombre minimal de parties que le joueur doit jouer a ?n que la probabilité de gagner au moins une fois soit supérieure à Partie B Dans la partie B le nombre k est un entier naturel supérieur ou égal à Un joueur joue une partie On note Yk la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur a Justi ?er l ? égalité p Yk k k b Écrire la loi de probabilité de la variable aléatoire Yk On note E Yk l ? espérance mathématique de la variable aléatoire Yk On dit que le jeu est favorable au joueur lorsque l ? espérance E Yk est ? strictement positive Déterminer les valeurs de k pour lesquelles ce jeu est favorable au joueur http www maths-france fr ? c Jean-Louis Rouget Tous droits réservés CAsie Enseignement spéci ?que EXERCICE corrigé Partie A On note N l ? événement la boule obtenue au cours d ? un tirage est noire ? et B l ? événement la boule obtenue au cours d ? un tirage est blanche ? de sorte que l ? événement B est l ? événement N Représentons la situation par un arbre B B N N B N Les deux boules sont de couleurs di ?érentes si et seulement si la première boule tirée est noire et la deuxième est blanche ou la première est blanche et la deuxième est noire La probabilité de tirer deux boules de couleurs di ?érentes est p ? ? a La