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Manuscrit Eléments du Cours de Mécanique Analytique Chapitre I M EL KACIMI Année universitaire Mohamed Elkacimi cern ch elkacimi uca ma Laboratoire de Physique des Hautes Energies et d ? Astrophysique Chapitre Formalisme de Lagrange Introduction Le formal

Eléments du Cours de Mécanique Analytique Chapitre I M EL KACIMI Année universitaire Mohamed Elkacimi cern ch elkacimi uca ma Laboratoire de Physique des Hautes Energies et d ? Astrophysique Chapitre Formalisme de Lagrange Introduction Le formalisme de la mécanique analytique n ? apporte pas de nouveauté conceptuelle par rapport au formalisme de la dynamique Newtonienne Toutefois l ? approche de la mécanique analytique constitue la formulation la mieux adaptée à de nombreux domaines de la physique moderne Elle est à l ? origine de la quanti n cation des dynamiques classiques et fournit nombre de concepts et d ? outils mathématiques pour élaborer la mécanique quantique moderne La mécanique analytique constitue un cadre bien adapté à la formulation des modèles des intéractions fondamentales de manière intuitive en se basant sur les théories de symétrie de Jauge partant de l ? intéraction éléctromagnétique et passant par les intéractions faibles et fortes Coordonnées généralisées L ? approche standard de la mécanique newtonienne consiste à relier les quantités de mouvement des diverses particules aux forces qui en sont à l ? origine sous forme d ? équations di n érentielles vectorielles de deuxième ordre Les forces mises en jeu sont décrites soit par des lois fondamentales dont celles de la force gravitationnelle et de la force éléctromagnétique soit par des lois phénoménologiques qui décrivent les forces de frottement Rappelons que les forces de frottements consituent des e n ets à l ? échelle macroscopique des forces fondamentales L ? ensemble des équations di n érentielles dynamiques associées aux conditions initiales permettent de prédire complètement le mouvement La résolution de ces équations restent en général fastidieuse lorsque des contraintes existent entre les positions ou bien entre les posi- Formalisme de Lagrange tions et les vitesses En e n et la présence des forces de liaison o? en général les forces de contact introduisent des dépendances entre les variables qui décrivent le système Aussi si le système est formé par N particules en raison des contraintes les N coordonnées qui décrivent le système ne sont plus indépendantes entre elles De plus les forces à l ? origine des contraintes sont mal connues et de ce fait introduisent à leurs tours de nouvelles inconnues liées à leurs valeurs L ? idée de base de la mécanique analytique est d ? éliminer les forces inconnues et de ne décrire le système que par des coordonnées qui sont indépendantes et qui ne sont soumises à aucune contrainte Ces coordonnées s ? appellent les coordonnées généralisées Elles sont de nature arbitraire et peuvent être une longeur un angle cependant ces coordonnées décrivent de manière univoque l ? état mécanique du système si l ? on prend en compte les contraintes Pour se n xer les idées prenons l ? exemple du double pendule n gure En principe le système est décrit par coordonnées coordonnées pour chacun des pendules Or ?? les n ls sont de longueur n xe ce qui engendre deux contraintes chacune sur les coordonnées d