Taibi et al. : Écoulements à deux phases en conduites déformables Actes Inst. A

Taibi et al. : Écoulements à deux phases en conduites déformables Actes Inst. Agron. Vet. (Maroc) 2002, Vol. 22 (1) 47 Écoulements pulsés à deux phases en conduites déformables et poreuses à parois élastiques et anisotropes. Application à la microcirculation sanguine Mohammed TAIBI 1¤, Mohamed KERROUM 1, Kamal GUERAOUI 1, Abdellah HAMMOUMI 1 & Gamal ZEGGWAGH 1 (Reçu le 27/07/2001 ; Accepté le 02/01/2002) Écoulements pulsés à deux phases en conduites déformables et poreuses à parois élastiques et anisotropes. Application à la microcirculation sanguine L’objet du présent travail consiste en la modélisation numérique d’écoulements du sang considéré comme un fluide à deux phases (fluide newtonien-fluide de Casson généralisé) en régime pulsé, dans une conduite déformable. Une telle modélisation tient compte, en plus du caractère non newtonien du fluide, du déplacement axial et radial de la paroi, de sa porosité et de l’anisotropie. En utilisant une méthode numérique aux différences finies implicites pour résoudre les systèmes des équations locales, intégrales et le système des équations de la paroi, les quantités locales et globales de l’écoulement ont été déterminées. Mots clés : Écoulement pulsé - Fluides à deux phases - Casson généralisé - Parois anisotropes - Microcirculation Pulsated flows with two phases in deformable and porous conduits with elastic and anisotropic walls. Application to the blood microcirculation The objective of the present work is a numerous simulation of blood flow considered with a two-fluid model (newtonian fluid-casson generalized fluid) through deformable tubes. The porosity, anisotropy, axial and radial deplacement of the pipe are considered. Using an implicit finite differences method to solve the equations systems local, integral and the duct, we determine the global and the local quantities for the flow. This study considered as a step in the modelling of flow in blood vessels, may also contribute to other important fields such as water desalination or gel filtration. Key words : Pulsatile flow - Two phase fluids - Casson generalized - Pulsatile flow - Microcirculation 1 Groupe de Mécanique des Fluides et des structures, laboratoire de Mécanique, Faculté des Sciences, B.P. 1014, Rabat. ¤ Auteur correspondant, e-mail : taibi@hotmail.com Actes Inst. Agron. Vet. (Maroc) 2002, Vol. 22 (1) : 47-56 © Actes Éditions, Rabat ł ł ł ł d d d d ¹ ¹ ¹ ¹ U U U U Ê Ê Ê Ê ½ ½ ½ ½ ³ ³ ³ ³ C C C C w w w w – – – – Ë Ë Ë Ë Þ Þ Þ Þ u u u u — — — — ¹ ¹ ¹ ¹ s s s s Ž Ž Ž Ž ³ ³ ³ ³ d d d d     M M M M u u u u « « « « – – – – « « « « Ð Ð Ð Ð D D D D U U U U ½ ½ ½ ½ W W W W     d d d d ½ ½ ½ ½ W W W W     b b b b Ë Ë Ë Ë œ œ œ œ … … … … Ë Ë Ë Ë     ² ² ² ² ³ ³ ³ ³ U U U U ¹ ¹ ¹ ¹ M M M M W W W W « « « « ) ) ) ) u u u u « « « « ’ ’ ’ ’ Ë Ë Ë Ë ½ ½ ½ ½ H H H H O O O O b b b b … … … … Æ Æ Æ Æ ð ð ð ð D D D D ³ ³ ³ ³ O O O O o o o o « « « « % % % % b b b b Ë Ë Ë Ë — — — — … … … … « « « « : : : : N N N N d d d d ¹ ¹ ¹ ¹ W W W W d' W¹œbŽ ‰uKŠ .bIð Y׳%« «c¼ ‰öš s ·bN½ —uÞ Ë– qzUÝ ÊU¹ uM d³Ž ©Âb%«® s¹ d « d'« «c¼ ÆW½ Ë– ÊU¹ “ —U³²Žù« 5FÐ bš_« l ¨WOC³½ WFO³Þ uOM%« dOG%«® WFO³D%« vKŽ …œU¹ uð d*« qzUEK% ©WO½ eG —u;« œbL²%« ¨Í Í Ë Ë U?N?ðœU?H?½ ¨W?½UD³K% wŽUFA%« u?š s?¹U³ð d?Þ ‰U?L?F²ÝUÐ ÆUNM« Ë W?O?K?;« ôœU?F?*« q?( wzUNM%« ‚dH%« WI¹ W?U?F%« d?−?K% u?M?I?%« ôœU?F? —U?³?²?Žù« 5?FÐ bš_« l ≠ wC³M%« ÊU¹ Ë W?U?F?%« U?OLJ%« œb×½ ≠ « d?−?K?% W?OK;« l? 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De nombreuses études ont été effectuées sur le sang, liées à la recherche d’une loi rhéologique, représentant correctement la suspension san- guine, montrent que le comportement rhéologique de ce dernier obéit soit à la loi de Newton, soit à des lois non-newtoniennes (Ostwald, Bingham, Bingham généralisé, Quemada, Sisko, Casson ou Casson généralisé) (Baranger et al., 1990 ; Bellet, 1973 ; Quemada, 1978 ; Rakotomalala, 1989). La description des phénomènes hémodynamiques ne peut se faire d’une manière correcte qu’avec la prise en compte de la nature de la paroi artérielle (Amar et al., 1998 ; Bahrar, 1986 ; Flaud, 1979 ; Kerroum, 1994). Par conséquent, l’étude de l’influence de l’élasticité de la paroi est d’un intérêt certain dans des cas pathologiques comme l’hypertension ou l’athérosclérose (Buthaud, 1977; Caro et al., 1978). À côté de ses propriétés mécaniques d’élasticité et d’anisotropie, la paroi vasculaire présente des propriétés de filtration (Gueraoui et al., 1998; Zeggwagh, 1988). La présente étude concerne la modélisation d’écoulements du sang, qui est considéré comme un fluide à deux phases (fluide de Casson généralisé-fluide newtonien) au niveau de la microcirculation, en régime non per- manent, à travers des conduites déformables, poreuses, élastiques et anisotropes. La déformation axiale de la paroi est prise en considération. L’approche du phénomène s’effectue par voie numérique, en utilisant la méthode des différences finies. MODÈLE THÉORIQUE 1. Mise en équations de la conduite La conduite étudiée est un tube axisymétrique souple, de longueur L à l’état déformé, à paroi mince, poreuse, d’axe de révolution z or , de masse volumique ρp, d’épaisseur h, de rayon au repos R0 et de rayon non permanent R(z, t). Le déplacement axial de la paroi est représenté par A(z, t) et le déplacement radial par B(z, t). Le système d’équations décrivant la déformation de la paroi de la conduite, en l’absence d’efforts volumiques (effet d’inertie négligeable devant l’effet de viscosité (Patel et al., 1969)), s’écrit sous la forme suivante : ∂ ∂ + ∂ ∂ + − + = ∂ ∂ σςς ς σ ς σςς σθθ ς ρ z z R p B t 2 2 ∂ ∂ + ∂ ∂ + + = ∂ ∂ σ σ ς ς σ ς ς ρ zz z z z R p A t 2 2 (1) où r r r ς ς = + B z t e A z t ez ( , ) ( , ) est le vecteur déplacement de la conduite. L’ensemble des relations rhéologiques modélisant le matériau anisotrope s’écrit : σ ν ε ν θεθθ ν ν ν σςς zz Ez zz E = − + + + ( ) ( ) 1 1 3 3 2 1 3 σθθ ν θεθθ ν ε ν ν ν σςς = − + + + ( ) ( ) 1 1 3 3 1 2 3 E Ez zz (2) σς ν z Ez B z = + ∂ ∂ 1 2 (3) En multipliant les deux équations du système (1) par 1+ ς R et en intégrant de −h 2 à h 2 on obtient : ρ ∂ ∂ ς σ ν ∂ ∂ ςς ς ς p h h z h B t R R hE B z 2 2 2 2 2 2 2 1 = +       + + = − = − − +      − − hE B R h uploads/Voyage/ 170-300-1-sm.pdf

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• Publié le Oct 26, 2021
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