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Contrôle optimal : théorie et applications Emmanuel Trélat1 — Première édition:

Contrôle optimal : théorie et applications Emmanuel Trélat1 — Première édition: 2005, Vuibert, Collection "Mathématiques Concrètes", 246 pages. ISBN 2 7117 7175 X. — Seconde édition: 2008, Vuibert, Collection "Mathématiques Concrètes", 250 pages. ISBN-10: 2711722198. (correction de misprints) — Présente version électronique: octobre 2019. Ajout d’exercices, correction de misprints. Si vous trouvez des misprints ou des choses incorrectes, merci de m’envoyer un mail: emmanuel.trelat@sorbonne-universite.fr 1. Sorbonne Université, Laboratoire Jacques-Louis Lions, Paris, France. 2 Table des matières Notations 6 Avant-propos 8 1 Introduction : contrôle optimal d’un ressort 11 1.1 Présentation du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 Modélisation mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3 Quelques remarques sur l’équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 I Contrôle optimal de systèmes linéaires 17 2 Contrôlabilité 21 2.1 Ensemble accessible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.1 Déﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.2 Topologie des ensembles accessibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.3 Déﬁnition de la contrôlabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2 Contrôlabilité des systèmes linéaires autonomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2.1 Cas sans contrainte sur le contrôle : condition de Kalman . . . . . . . . . . 25 2.2.2 Cas avec contrainte sur le contrôle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2.3 Similitude de systèmes, forme de Brunovski . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3 Contrôlabilité des systèmes linéaires instationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3 Temps-optimalité 35 3.1 Existence de trajectoires temps-optimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.2 Condition nécessaire d’optimalité : principe du maximum dans le cas linéaire . . . 36 3.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.3.1 Synthèse optimale pour le problème de l’oscillateur harmonique linéaire . . 39 3.3.2 Autres exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4 Théorie linéaire-quadratique 47 4.1 Existence de trajectoires optimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.2 Condition nécessaire et suﬃsante d’optimalité : principe du maximum dans le cas LQ 50 4.3 Fonction valeur et équation de Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.3.1 Déﬁnition de la fonction valeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.3.2 Equation de Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.3.3 Représentation linéaire de l’équation de Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.4 Applications de la théorie LQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.4.1 Problèmes de régulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3 4 TABLE DES MATIÈRES 4.4.2 Filtre de Kalman déterministe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.4.3 Régulation sur un intervalle inﬁni et rapport avec la stabilisation . . . . . . 65 II Théorie du contrôle optimal non linéaire 71 5 Déﬁnitions et préliminaires 75 5.1 Application entrée-sortie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 5.1.1 Déﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 5.1.2 Régularité de l’application entrée-sortie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 5.2 Contrôlabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 5.2.1 Ensemble accessible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 5.2.2 Résultats de contrôlabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5.3 Contrôles singuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 5.3.1 Déﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 5.3.2 Caractérisation hamiltonienne des contrôles singuliers . . . . . . . . . . . . 82 5.3.3 Calcul des contrôles singuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 6 Contrôle optimal 85 6.1 Présentation du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 6.2 Existence de trajectoires optimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 6.2.1 Pour des systèmes généraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 6.2.2 Pour des systèmes aﬃnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 7 Principe du Maximum de Pontryagin 91 7.1 Cas sans contrainte sur le contrôle : principe du maximum faible . . . . . . . . . . 91 7.1.1 Le problème de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 7.1.2 Le problème de Mayer-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . uploads/s1/ controle-optimal.pdf