Examen Probabilités & Statistiques 2007-2008 : MAT 48 MASHS1, MAGE1, MI1, BIM2,

Examen Probabilités & Statistiques 2007-2008 : MAT 48 MASHS1, MAGE1, MI1, BIM2, Session 1, Semestre 2 Durée: 3 heures Documents interdits, Calculatrices interdites Exercice 1 (4 points) On lance une pièce de monnaie 12 fois de suite: la probabilité d’obtenir PILE à chaque lancer est p = 0:2: On note X le nombre de PILE apparus et Y le rang du dernier PILE apparu: on convient que Y = 0 s’il n’y en a pas. NB: ces variables ne sont pas indépendantes! 1. Calculer pr (X = 3) et pr (Y = 7) : 2. Calculer pr (X = k et Y = 7) pour k = 3; 7; 10 puis proposer une formule générale pour 0  k  12: 3. Calculer les probabilités pr (X > Y ) et pr (X = Y ) : 4. Calculer la probabilité d’obtenir 5 PILE pendant les 7 premiers lancers et 3 PILE pendant les 5 derniers sachant que l’on a en tout 8 PILE. NB: noter que les lancers qui comportent 8 PILE ont tous la même probabilité. Exercice 2 (4 points) 1. Dans un lot de 100 composants électroniques chaque composant a la probabilité p = 0:02 d’être défectueux, indépendamment des autres: on note X le nombre de composants défectueux. (i) Donner la loi de X: (ii) Calculer la probabilité qu’il y ait 4 composants défectueux dans le lot et en donner une approximation grâce à la loi de Poisson. 2. Dans un lot de 100 composants électroniques il y a 2 composants dé- fectueux: on prélève sans remise n composants et on note Y le nombre de composants défectueux parmi les n prélevés. (i) Donner la loi de Y lorsque n = 2 puis pour n quelconque entre 2 et 98: (ii) Calculer pr (Y = 2) dans le cas général et simpli…er le résultat en explic- itant les coe¢cients binomiaux. Lorsque n = 2 retrouver ce résultat grâce à un arbre de choix. Exercice 3 (3 points) Un dispositif émet aléatoirement des signaux et on note X (t) le nombre de signaux émis dans un intervalle de t secondes. La loi de X (t) ne dépend que de la longueur t de l’intervalle et est donnée par pr (X (t) = k) = e2t:(2t)k k! pour k = 0; 1; 2; ::: (loi de Poisson de paramètre 2t): 1. Préciser le nombre moyen de signaux par seconde et calculer la probabilité qu’il y ait au plus deux signaux par seconde. 2. On note T le temps d’attente du premier signal (en secondes). (i) Exprimer l’évènement fT > tg à l’aide de X (t) puis calculer sa probabil- ité. (ii) Calculer la probabilité pr (T < 2t j T > t) et interpréter le résultat obtenu. 1 Exercice 4 (3 points) Une urne contient 2 boules rouges, 5 boules vertes et 3 boules jaunes. On tire avec remise une boule un nombre indéterminé de fois et on note T1 le rang de la première boule rouge, T2 celui de la première boule verte. 1. Donner la loi de T1 et T2 et calculer pr (T1 > k) ; pr (T2 > k) : un résultat simple est demandé pour ces derniers calculs. 2. Calculer pr (T1 > k et T2 > k) : Les variables T1 et T2 sont-elles indépen- dantes? Exercice 5 (3 points) 1. La variable aléatoire X suit la loi de densité p (x) = 8 < : 0 si x < 2 ou x  1 0:50 si 2  x < 1 0:25 si 1  x < 1 : On note F sa fonction de répartition. Tracer le graphe de F et donner son expression sur [1; 1] : 2. La variable aléatoire X suit la loi normale d’espérance  = 2 et d’écart- type  = 0:1: On note  la fonction de répartition de la loi normale N (0; 1) et on donne les valeurs suivantes:  (0:5) = 0:69;  (1) = 0:84;  (1:5) = 0:93;  (2) = 0:98;  (2:5) = 0:99: Calculer pr (X > 1:95) et pr (jX 2j  0:15) : Exercice 6 (3 points) Un système est composé de 2 éléments indépendants. La durée de vie (en secondes) de l’élément k est une variable aléatoire notée Tk (k = 1; 2) et on note U la durée de vie du système (en secondes): on suppose que les variables T1; T2 suivent la même loi exponentielle de paramètre : NB: on rappelle que la fonction de répartition de la loi exponentielle de paramètre  est F (t) = 1 et si t  0; et que son espérance vaut 1=: 1. Préciser la probabilité pr (Tk > t) : 2. Calculer la probabilité pr (U > t) dans les cas suivants: (i) le système fonctionne si et seulement si tous les éléments fonctionnent (système série) (ii) le système fonctionne si et seulement si au moins un des éléments fonc- tionne (système parallèle) Dans cas (i) préciser la loi de U et donner son espérance. 2 Examen Probabilités & Statistiques 2007-2008 : MAT 48 MASHS1, MAGE1, MI1, BIM2, Session 1, Semestre 2 Correction Exercice 1 (4 points) 1. 3 PILE à choisir parmi 12; donc les 9 autres lancers sont des FACE: pr (X = 3) = 12 3  (0:2)3 (0:8)9 : Le dernier PILE est au rang 7; donc les 5 lancers suivants sont des FACE: pr (Y = 7) = 0:2  (0:8)5 : 2. Il y a 3 PILE et le dernier est au rang 7; donc 2 PILE à choisir parmi les 6 premiers lancers et 9 FACE: pr (X = 3 et Y = 7) = 6 2  (0:2)3 (0:8)9 : Il y a 7 PILE et le dernier est au rang 7; donc les 7 premiers lancers sont des PILE et les 5 suivants des FACE: pr (X = 7 et Y = 7) = (0:2)7 (0:8)5 : Il ne peut y avoir 10 PILE puisque le dernier est au rang 7 : pr (X = 10 et Y = 7) = 0: Il y a k PILE et le dernier est au rang 7; donc k 1 PILE à choisir parmi les 6 premiers lancers et 12 k FACE: pr (X = k et Y = 7) =  6 k 1  (0:2)k (0:8)12k avec la convention usuelle 6 k1  = 0 si k 1 > 6 ou k 1 < 0: 3. Si le dernier PILE est à un rang Y = k on ne peut avoir plus de X = k PILE: pr (X > Y ) = 0: L’évènement fX = Y g est réunion disjointe des évènements fX = k et Y = kg : pr (X = Y ) = 12 X k=0 pr (X = k et Y = k) = 12 X k=0 (0:2)k (0:8)12k : 4. Formule des probabililités conditionnelles: si A = "5 PILE pendant les 7 premiers lancers et 3 PILE pendant les 5 derniers" et B = " 8 PILE" alors pr (A j B) = pr(A\B) pr(B) : On a pr (A \ B) = 7 5  (0:2)5 (0:8)2  5 3  (0:2)3 (0:8)2 = 7 5 5 3  (0:2)8 (0:8)4 3 et pr (B) = 12 8  (0:2)8 (0:8)4 donc pr (A j B) = ( 7 5)( 5 3) ( 12 8 ) : Exercice 2 (4 points) 1. (i) Loi B (100; 0:02) : pr (X = k) = 100 k  (0:02)k (0:98)100k pour k = 0; ::; 100: (ii) On a pr (X = 4) = 100 4  (0:02)4 (0:98)96 : On approche par P (2) donc pr (X = 4) ' e2:24 4! : 2.(i) Loi H (100; 2; 2) : pr (Y = k) = 2 k  98 2k  100 2  pour k = 0; 1; 2: Loi H (100; 2; n) : pr (Y = k) = 2 k  98 nk  100 n  pour k = 0; 1; 2: (ii) On trouve pr (Y = 2) = 98 n2  100 n  = n 100 n 1 99 : Cas n = 2 : l’arbre a deux rami…cations type défectueux/non défectueux et on calcule la probabilité de la branche défectueux/défectueux, soit 2 100 1 99: Exercice 3 (3 points) 1. Le nombre moyen de signaux en t secondes est l’espérance de X (t) : pour t = 1 on trouve 2: On a pr (X (1)  2) = pr (X (1) = 0) + pr (X (1) = 1) + pr (X (1) = 2) = 5e2t: 2. (i) fT > tg = fX (t) = 0g donc pr (T > t) = e2t: Probabilité conditionnelle: pr (T < 2t j T > t) = pr(T >t etT <2t) pr(T >t) : On a pr (T > t etT < uploads/s1/ corrige-mat-482007 1 .pdf

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  • Publié le Nov 02, 2022
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