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Université Moulay Ismail FST-Errachidia Cours du module M136-S3-MIP Statistique

Université Moulay Ismail FST-Errachidia Cours du module M136-S3-MIP Statistique déscriptive et Probabilité Pr : M.Haddaoui Département : Mathématique 2 إهـــــــــداء ٌإلــــى أمــً الغــال ـــــة رحمــــــ ـــ ــ ه ا هللا إلــــى أبــً العزٌــ ــــ ـــز حفـــــ ـظـ ـه ــ ــ الله ٌإلــــى زوجتً الحب ــــ بة أٌــــــدهـ ــ ــا الله ى إل أوالدي:إبتهال ،عطاء أٌس د ،وفقه م ــ الله إلـى أصهاري وأبناءهــم بـارك فٌه ــ م الله إلــــى إخوتً وإخوانــــً أعانهــــــ ـ ـم الله إلــــى أصدقائً وزمالئً ٌسر لهـــ ـ ـم هللا إلى أسات ذتً ومشاٌخً وكل من علمنً تقبل من ـ هم هللا إلى كل من أحبنا أو أحببناه فً هللا وإلى كل المؤمنٌن باهلل و الصالة والسالم على ـ رس ول هللا وآله وصحبه وإخوانه وحزبه وم ـــــ ن وااله Table des matières I Statistique descriptive 4 Introduction 5 1 Concepts généraux 6 1.1 Terminologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2 Distribution univariée 9 2.1 Étude d’une variable statistique discrète . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2 Étude d’une variable statistique continue . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3 Représentation graphiques des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3 Étude d’une variable statistique bivarié 23 3.1 Déﬁnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.2 Paramètres de distribution marginales . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.3 Paramètres de distribution conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . 27 4 Ajustement linéaire 28 4.1 Covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.2 Coéﬃcient de corrélation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.3 La méthode de moindres carrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.4 La droite de régression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Première partie Statistique descriptive Introduction Aussi loin que l’on remonte dans le temps, les civilisations ont toujours senti le besoin de disposer d’informations sur leurs sujets ou sur les biens qu’ils possèdent et produisent. Mais les recensements de population et de ressources, les statistiques (du latin ’status’ : état ) sont restés purement descriptifs jusqu’au 17ème siècle. Puis s’est développé le calcul des probabilités et des méthodes statistiques sont apparues en Allemagne, en Angleterre et en France. Beaucoup de scientiﬁques de tout ho- rizon ont apporté leur contribution au développement de cette science : PASCAL, HUYGENS, BERNOULLI, MOIVRE, LAPLACE, GAUSS, MENDEL, PEARSON, FISCHER... Actuellement, la statistique s’applique à la plupart des disciplines : agro- nomie, biologie, démographie, économie, sociologie, linguistique, psychologie... Le terme "statistique" est issu du latin ’statisticum’, c’est-à-dire qui a trait à l’état. Les statistiques descriptives regroupent les méthodes dont l’objectif principal est la description des données étudiées. Cette description des données se fait à travers leur représentation graphique, et le calcul de résumés numériques. L’objectif de la statistique descriptive est : * décrire de façon synthétique et avec un minimum d’eﬀort des données observées ; * la collecte, l’organisation, la présentation de données ; * la modélisation et la construction de résumés numériques permettant de décrire et d’analyser des phénomènes repérés ; * l’extrapolation des résultats partiels en vue de déduire des précisions globales (Statistique Inférentielle). Chapitre 1 Concepts généraux 1.1 Terminologie 1. Population : ensemble (souvent noté Ω) que l’on observe et qui sera soumis a une analyse statistique. Chaque élément de cet ensemble est un individu ou unité statistique (souvent noté ω). 2. Echantillon : c’est un sous ensemble E de la population Ωconsidérée. Le nombre d’individus dans l’échantillon est la taille de l’échantillon. 3. Caractère : c’est le sujet de l’étude statistique et porte aussi le nom de variable statistique. Plus généralement, on appelle caractère toute application X de la population Ωdans un ensemble E, dont les éléments x sont appelés modalités du caractère X (ou valeurs du caractère). Il existe diﬀérents types de variables statistiques : — Caractère qualitatif : lorsque la variable ne se prête pas a des valeurs numériques (exemple : opinions politiques, couleurs des yeux, sexe, pro- fession, nationalité...). Elle peut être ordonnée ou non, dichotomique ou non. — Caractère quantitatif (ou mesurable) : lorsque la variable peut être exprimée numériquement. Elle est discontinue si elle ne prend que des valeurs isolées les unes des autres. Une variable discontinue qui ne prend que des valeurs entières est dite discrète (exemple : nombre d’enfants d’une famille). Elle est dite continue lorsqu’elle peut prendre toutes les valeurs d’un intervalle ﬁni ou inﬁni (exemple : diamètre de pièces, salaires...). 4. Série ou distribution statistique : l’ensemble X(Ω) ⊂E des modalités est parfois appelé distribution statistique ou série statistique ou encore variable statistique. On dit alors que l’on a eﬀectué un regroupement des données brutes. De plus, pour chaque valeur xi de modalité (du caractère) constatée, on détermine le nombre d’individus ni ayant présenté cette valeur du ca- ractère, nombre appelé eﬀectif associé à la modalité. L’ensemble des couples (xi, ni)i∈J (modalité,eﬀectif) déterminé est parfois appelé distribution statis- tique. On va étudier dans ce cours deux types de distribution : — Distribution statistique univariée (ou simple) : c’est une série sta- tistique à un caractère ou à une dimension. Par exemple, dans le cas d’une série statistique quantitatif obtenue lorsque nous nous intéressons 1.2. Remarques 7 à un caractère élémentaire, dont l’ensemble des modalités X(Ω) est un sous-ensemble de R. — Distribution statistique bivariée (ou double) : c’est une série statis- tique à deux caractères obtenue lorsque à chaque individu sont associés deux caractères élémentaires, plus précisément un couple de caractères élé- mentaires, ou encore un caractère à valeurs dans le produit cartésien E×F. Par exemple, dans le cas d’une série statistique quantitatif X(Ω) ⊂R2. 1.2 Remarques Remarque 1.1. Soit X l’application déﬁnie de la population Ωdans l’ensemble E, on peut écrire X : Ω→E ω 7→X(ω) := x. Donc on a X : le caractère Ω: la population ω : l’individu E : l’ensembe des modalités X(Ω) : l’ensembe des modalités possibles X(ω) := x : modalité. Remarque 1.2. On peut transformer toute statistique qualitative à une statistique quantitative à l’aide d’un codage des valeurs possibles du caractère. Par exemple, pour le caractère ’sexe’, on utilise le codage usuel suivant : 1 = masculin et 2 = féminin. Remarque 1.3. Dans le cas d’une série double, nous nous intéressons pour chaque individu au couple (x,y) de réponses et nous eﬀectuons le regroupement des données par rapport à ces couples, alors que dans le cas de l’étude des deux séries simples associées, nous eﬀectuons le regroupement des données séparément sur chacun des deux caractères X et Y ; nous obtenons alors des résultats plus concis, mais au prix d’une perte d’information. 1.3 Exemples Exemple 1.1. Étude des membres des familles d’un quartier donné. Population : Ensembles des familles du quartier, Individu : Une famille, Caractère : Membre de famille, Type : Quantitatif discret. 1.3. Exemples 8 Exemple 1.2. Étude des couleurs des voitures d’une ville donnée. Population : Ensembles des voitures de la ville, Individu : Voiture, Caractère : Couleur, Type : Qualitatif. Exemple 1.3. Une enquête réalisée dans un petit village porte sur le nombre d’en- fants à charge par famille, les résultats sont regroupés dans la série statistique sui- vante : 0 −1 −4 −2 −2 −2 −3 −3 −3 −3 −3 −4 −4 −4 −4 −3 −1 0 −1 −4 −2 −2 −2 −3 −3 −3 −3 −3 −4 −4 −4 −4 −3 −2 0 −1 −4 −2 −2 −2 −3 −3 −3 −3 −3 −4 −4 −4 −4 −1. On a Population : Ensembles des familles du village, Individu : Une famille, Caractère : Nombre d’enfants à uploads/s1/ cours-statistique-mr-el-haddaoui-21-22.pdf