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Exercice n° 1 Soit θ ( 4 points ) 0, 2   ∈    π et l’équation (Eθ i2θ iθ

Exercice n° 1 Soit θ ( 4 points ) 0, 2   ∈    π et l’équation (Eθ i2θ iθ z² z e ie 0 − + − = ) : . 1) a- Vérifier que iθ i2θ iθ (2ie 1)² 4e 4ie 1 + = − + + . b- Résoudre dans  l’équation (Eθ 2) On donne les nombres complexes: ) . 1 z 4 2(1 i) = + , iθ 2 z ie = − et iθ 3 z 1 ie = + . a- Ecrire les nombres complexes 1 z , 2 z et 3 z , sous la forme exponentielle. b- Résoudre dans  l’équation (E’) : 3 (z 2i) 4 2(1 i) + = + . Exercice n° 2 Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct ( 7 points ) (O,u,v)  . On considère le point A d’affixe 2, le point B d’affixe -3 et l’application : { } f :P \ A dans P qui à tout point M d’affixe z on associe le point ' M d’affixe z’ avec ' 2iz 6i z z 2 + = − . 1) a- Résoudre dans  l’équation (E) : z² 2(1 i)z 6i 0 − + − = . b- En déduire les points invariants par f. 2) Montrer que: a) ' BM OM 2 AM = . b)   [ ] ' π (u,CM ) (AM,BM) 2 π 2 ≡ +      . 3) a- Déterminer l’mage par f de la médiatrice de [AB]. b- Montrer que si M est un point du cercle ζ de diamètre [AB] privé de A et B alors ' M appartient à la droite (O,u)  . Exercice n° 3 On considère la suite réelle (u ( 9 points ) n ∗  ) définie sur par : n n n u a = où a est un réel strictement supérieure à 2. 1) a- Montrer que pour tout n ∗ ∈, n 1 n 2 u u a + ≤ . b- En déduire pour tout n ∗ ∈, n n 1 2 u 2 a   ≤ ⋅    . c- Déterminer alors n n lim u →+∞ . 2) Soit la suite réelle (Sn ∗  ) définie sur par : n n k k 1 S u = = ∑ . a- Montrer que (Sn b- Montrer que pour tout ) est une suite croissante. n ∗ ∈, n 1 S a 2 ≤ − . c- En déduire que la suite (Sn  ) converge vers un réel . d- Montrer que pour tout n ∗ ∈, n n 1 n 1 1 a aS S 1 a 1 +   −    − = + − . e- Montrer que alors que  ( ) 2 a a 1 = − . Lycée Cité El-amel Devoir de contrôle n°1 Année scolaire : 2016/2017 Sola Saidi & Mokhtar Ouardani ( Mathématiques ) Date : Octobre Ali A Classes : 4ème Maths 1 & 2 Durée : 2 heures uploads/s1/ devoir-de-controle-n01-math-bac-math-2016-2017-mr-s-sola.pdf