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CAO courbes et surface de Bézier Les Courbes de Bézier L'interpolation n'est pa

CAO courbes et surface de Bézier Les Courbes de Bézier L'interpolation n'est pas adaptée à la CAO (conception assistee par ordinateur). C'est dans ce domaine que les courbes de Bézier ont été inventées et plus précisement pour l'industrie automobile, dans les années 1960. L'idée révolutionnaire des courbes de Bézier est l'utilisation de points de contrôle et non de points d'interpolation. Cela veut dire que la courbe ne passe pas par les points donnés mais les approche. Les courbes de Bezier ne sont donc pas des interpolations mais des approximations. Avantages Il y a plusieurs avantages à cela : • La courbe est stable, il est facile de déformer la courbe sans résultats inattendus. • Il est facile de modifier la courbe. • Le placement des points de contrôle est relativement évident. • Il est plus facile d'avoir une courbe naturelle, fluide qu'avec des points d'interpolation. La conception de Bézier Les courbes de Bézier ont entre autres été créées par Pierre Bézier chez Renault en 1962. Bien que ce type de courbes porte son nom, il n'est pas certain que Bézier ait été le premier à construire cette courbe. En effet Paul De Casteljau chez Citroën, a développé la même courbe à la même époque bien que son approche diffère de celle de Bézier. L'algorithme de De Casteljau L'algorithme de De Casteljau est entièrement géométrique. Prenons en exemple la construction d’une courbe de Bézier avec quatre points de contrôle. Posons Prenons un paramètre t entre 0 et 1. On défini le point comme le barycentre de et de (affectés des poids t et 1-t). De la même manière pour , . Puis on itère • Pour trouver le barycentre entre deux points et nous utilisons la formule suivante : • +(1-t) • +(1-t) Ainsi le barycentre se deplace entre les points et sur la droite les reliant. • Le schema dispose d'autant de niveaux qu'il y a de points de contrôle. Comme pour changer de niveau nous multiplions par t ou 1-t, notre courbe à 4 points de contrôle est de degré 3. Le degré d'une courbe de Bézier est inférieur d'une unite au nombre de points de contrôle. Remarque: la courbe de Bezier de degre n avec n + 1 points est unique. Il est possible de trouver l'expression d'une courbe de Bézier. Pour une courbe à 4 points de contrôle. Le plus simple est de prendre le schéma précédent dans le sens itératif: • Pour le deuxième niveau, • • Pour le troisième niveau, • Pour le quatrième et dernier niveau, • • En assemblant ces équations, nous pouvons obtenir en fonction des points de contrôle. Nous avons alors l'expression suivante de la courbe de Bézier : Cette démarche est généralisable à un nombre de point quelconque. • Polynôme de Bernstein Bien que l'algorithme de De Casteljau soit très simple, il est relativement long de trouver l'expression de la courbe lorsqu'il y a beaucoup de points de contrôle. La forme de Bernstein permet d'exprimer plus simplement une courbe de Bézier. En généralisant pour n + 1 points l’expression de la courbe de Bézier précédente Où les sont les coefficients du binôme de Newton. Nous allons définir le polynôme de Bernstein. • Chaque point de contrôle est multiplie par le polynôme : Où sont les coefficients binomiaux de Newton. Dans n représente le degré de la courbe et i le rang du polynôme variant de 0 a n. Ce polynôme est appelé polynôme de Bernstein. • Polynômes de Bernstein de degré 5 Nous pouvons donc définir une courbe de Bézier de la manière suivante (M étant le point de la courbe) : Remarque: Nous avons . Cette propriété des polynômes de Bernstein est intitulée la partition de l'unité. • Propriétés des courbes de Bézier Les courbes de Bézier présentent beaucoup de propriétés intéressantes. La plupart de ces propriétés sont très utiles voir indispensables pour des utilisations pratiques. • Nous pouvons montrer qu'une courbe de Bézier est indépendante du repère. Dans le cas contraire, il aurait été très difficile d'utiliser ce modèle. • Une courbe de Bézier passe par le premier et le dernier point. Cette propriété est très importante car il est primordiale de savoir où elle part et où elle arrive. Dérivée d'une courbe de Bézier Il est relativement complexe de dériver une courbe de Bézier de degré n. Nous ne nous occuperons que de la dérivée première. Après avoir dérivé un polynôme de Bernstein, nous remplaçons dans la formule, ce qui donne : • Tangentes aux extrémités Pour t=0, Le polynôme de Bernstein • Tangentes aux extrémités Donc Et de même pour t=1 Les valeurs des tangentes aux extrémités sont naturels ce qui facilite l'utilisation de courbes de Bézier. Cette propriété est très intéressante pour joindre plusieurs courbes de Bézier sans rupture de pente. • Invariance par transformation affine et rotation Nous prendrons comme exemple une courbe de Bézier à 3 points de contrôle. • Si les trois points sont translatés, la courbe ne changera pas car la construction est identique. • Si les points de contrôle subissent une homothétie, il n'y aura pas de changement de la forme de la courbe car les rapports entre les points sont conservés • Pour la rotation des points de contrôle, il n'y a pas de changement. Une courbe de Bézier ne change pas de forme si nous lui faisons subir une transformation affine (translation et homothétie) ou une rotation. Cela s'explique grâce à la construction géométrique de De Casteljau. Ces propriétés sont primordiales. Lors de l’utilisation pratique, il est indispensable de pouvoir translater, agrandir, . . . une pièce sans que sa forme varie. Propriété de l'enveloppe convexe L'enveloppe convexe d'une courbe de Bézier est le polygone passant par les points de contrôle d'une courbe de Bézier de sorte que le polygone soit le plus grand possible. Une courbe de Bézier est toujours contenue dans son enveloppe convexe. Nous pouvons le voir avec le schéma pyramidale de De Casteljau. En effet, les barycentres se trouvent toujours a l'intérieur du polygone de contrôle. Propriété de l'enveloppe convexe Cette propriété est parfois appelée la propriété des tests de collisions. Ce nom est du à l'utilisation de cette propriété en robotique. En effet, si le bras d'un robot suit une courbe de Bézier, il ne sortira jamais de son enveloppe convexe. Il est donc possible de savoir très simplement si le robot va faire une collision ou non. Contrôle pseudo-local Dans une courbe de Bézier de degré n, si nous changeons un des points de contrôle de cette courbe, ce changement affecte toute la courbe. Il est possible de déterminer où la variation sera la plus importante. Pour cela, cherchons les maximums du polynôme • Regardons la condition nécessaire Cette équation admet comme racine D’où le polynôme admet un unique maximum en car les valeurs d'un polynôme de Bernstein sont toujours positives et sont nulles aux extrémités. • Plus généralement, si nous changeons le point de contrôle , la variation sera maximum en t=. Cette propriété permet de prévoir le comportement d'une courbe de Bézier lorsque ses points de contrôle changent. • Augmentation du degré Il est possible de changer le degré d'une courbe de Bézier sans changer la forme de celle-ci. Nous ne parlerons pas de la diminution du degré d'une courbe car cette manipulation n'est possible qu'avec des cas très particuliers. L'augmentation du degré permet de rajouter des points de contrôles (donc d'augmenter le degré) sans toucher à la forme de la courbe. Prenons une courbe de degré n avec n+1 points de contrôle (, , ). Nous voulons avoir n+2 nouveaux points de contrôle (, , ) pour définir la même courbe. Evidemment, Les points extrêmes ne changent pas. Et nous pouvons démontrer que les points sont définis de la manière suivante • L'augmentation du degré est utilisée pour contrôler localement la courbe. Par exemple, la modification d'un point d'une courbe de degré 2 change toute la courbe. Si nous augmentons le degré de cette courbe pour obtenir 15 points de contrôle, il sera facile de faire des modifications qui ont essentiellement une portée locale. Moyenne pondérée de courbe de Bézier Il est possible de faire la moyenne de deux courbes de Bézier. Cette transformation est aussi appelée l'invariance par combinaison barycentrique. Les points de contrôle sont : A0;A1, . . . , An pour la première courbe et D0;D1, . . . , Dn pour la deuxième. Nous pouvons construire une nouvelle courbes • La moyenne des points de contrôle de deux courbes donne la même courbe que la moyenne des points composant ces deux courbes. Dans le cadre d'une utilisation pratique, il peut s'avérer utile de faire la moyenne de deux courbes notamment si nous voulons fusionner deux courbes en une. Sensibilité d'une courbe de Bézier Une petite variation des points de contrôle d'une courbe de Bézier ne peut pas influencer fortement la courbe. En revanche, il y plusieurs moyens de définir presque la même courbe. Autrement dit, si nous réalisons une grande variation des points de contrôle, uploads/s1/ cours-cao-bezier.pdf