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Devoir de contrôle n°2 2013-2014 3éme sc-exp Page 1 Exercice n°1 : (7points) La

Devoir de contrôle n°2 2013-2014 3éme sc-exp Page 1 Exercice n°1 : (7points) La courbe (Cf) ci-dessus étant la représentation graphique d’une fonction f définie sur ܫܴ ,dans un repère orthonormé (O ;ଓ ⃗ ; ଔ ⃗ ). La droite d’équation y=5 est une asymptote à (Cf). Par une lecture graphique répondre aux questions suivantes : ૚).Calculer limିஶf et limାஶf. ૛).Calculer f(-1) ;f(0) ;f’(-1) et f’(0). 3). lim୶→ଵశ୤(୶) ୶ିଵ et lim୶→ହశ୤(୶)ିଶ ୶ିହ . 4).Résoudre dans ܫܴ les équations suivantes :f(x)=0 et f’(x)=0. 5).Déterminer le signe de f(x) ∀ x∈ ܫܴ. Mathématiques Lycée Thélepte. Fevrier 2014 Devoir de contrôle n°2 3ème sciences exp Durée : 2heures Profs: Mhamdi Abderrazek Devoir de contrôle n°2 2013-2014 3éme sc-exp Page 2 Exercice n°2 : (7points) Soit f la fonction définie sur IR par ቊ݂(ݔ) = ݔଷ−3ݔ… … …. ݏ݅ ݔ≤1 ݂(ݔ) = −2 + 2√ݔ−1. . ݏ݅ ݔ≥1 1). Calculer limିஶf et limାஶf. 2).a).Montrer que f est continue en1. b). Montrer que f est continue sur ܫܴ. 3).a).Etudier la dérivabilité de f à droite et à gauche en 1. b).Interpréter graphiquement le résultat obtenu. 4).Calculer f’(-2) en déduire une approximation affine de α=(−2.001)ଷ+6,003. Exercice n°3 : (6points) Soit g(x)=1+cos(2x)+sin(2x). 1).Calculer g(0) ;g( గ ସ) ; g( గ ଶ) et g(ᴨ). 2).a).Montrer que g(x)=1+√2 cos(2x- గ ସ). b). Résoudre dans ܫܴ l’équation g(x)=0. 3).Soit h(x)= ௖௢௦(௫)ା√ଷ ୱ୧୬ (௫) ଵାୡ୭ୱ(ଶ୶)ାୱ୧୬(ଶ୶) a).Déterminer l’ensemble de définition de h. b). Résoudre dans ܫܴ l’équation h(x)=0. BON TRAVAIL Devoir de contrôle n°2 2013-2014 3éme sc-exp Page 3 Exercice n°1 : 1). limିஶf =+∞ et limାஶf = 5 . 2). f(-1)=0 ;f(0)=-1 ;f’(-1)=-2 et f’(0)=0. 3). lim୶→ଵశ୤(୶) ୶ିଵ =+∞et lim୶→ହశ୤(୶)ିଶ ୶ିହ =+∞. 4). f(x)=0 sig x {-1 ;1} ;f’(x)=0sig x=0. 5). Exercice n°2 : ૚). lim ୶→ିஶf(x)= lim ୶→ିஶݔଷ−3ݔ= lim ୶→ିஶݔଷ = -∞ ; lim ୶→ାஶf(x)= lim ୶→ାஶ−2 + 2√ݔ−1.=+∞ . ૛). ࢇ).f(1)=13-3x1=-2= lim ୶→ଵషf(x) ; lim ୶→ଵశf(x)=-2+2√1 −1.=−2=f(1) . On a lim ୶→ଵషf(x) = lim ୶→ଵశf(x)=f(1) donc f est continue en 1. ࢈).La fonction x ⟼ ݔଷ−3ݔ est continue sur ܫܴ en particulier sur ]-∞ ;1[ (polynôme). La fonction x ⟼ −2 + 2√ݔ−1 est continue sur [1 ;+∞ [en particulier sur ]1 ;+ ∞ [. De plus f est continue en 1 . donc f est continue sur ܫܴ. ૜). ࢇ). lim ୶→ଵష ௙(௫)ି௙(ଵ) ௫ିଵ = lim ୶→ଵష ௫యି ଷ௫ାଶ ௫ିଵ = lim ୶→ଵష (௫ିଵ)(௫మା௫ିଶ) ௫ିଵ = lim ୶→ଵషx²+x-2=0.sig f est dérivable à gauche en 1 et . on a f’g(1)=0. . lim ୶→ଵశ ௙(௫)ି௙(ଵ) ௫ିଵ = lim ୶→ଵశ ିଶାଶ√௫ିଵାଶ ௫ିଵ = lim ୶→ଵశ ଶ√௫ିଵ ௫ିଵ= lim ୶→ଵశ ଶ √௫ିଵ = +∞ .sig f n’est dérivable à droite en 1 . ࢈).La courbe de f admet au point d’abscisse 1 deux demi-tangentes l’une horizontale à gauche et l’autre verticale dirigée vers le haut à droite . Mathématiques Lycées Thélepte 2012- 2013 Correction du Devoir de contrôle n°2 Profs Mhamdi Abderrazek 4ème Maths X -∞ -1 1 +∞ f(x) + 0 - 0 + Devoir de contrôle n°2 2013-2014 3éme sc-exp Page 4 4).f’(-2) = 3x(-2)²-3 = 9. α=(−2.001)ଷ+6,003 =(−2.001)ଷ - 3x(-2,001) =f(-2,001) = f(-2+(-0,001)) ≈ f’(-2)x(-0,001)+f(-2) ≈-2,009. Exercice n°3 : 1).g(0)= 1+cos(2x0)+sin(2x0)= 1+cos(0)+sin(0)=1+1+0=2. g( గ ସ) =1+cos(2x గ ସ)+sin(2x గ ସ)= 1+cos( గ ଶ)+sin( గ ଶ)=1+0+1=2. g( గ ଶ) =1+cos(2x గ ଶ)+sin(2x గ ଶ)= 1+cos(ߨ)+sin(ߨ)=1+(-1)+0=0. g(ߨ)= 1+cos(2ߨ)+sin(2π)= 1+cos(0)+sin(0)=1+1+0=2. 2).a).On a 1+√2 cos(2x- గ ସ) =1+√2 (cos(2x). cos( గ ସ) + sin(2x).sin( గ ସ)) = 1+√2 ( ଵ √ଶ cos(2x). + ଵ √ଶ sin(2x)) =1+cos(2x)+sin(2x) = g(x). b).g(x)=0 signifie 1+√2 cos(2x- గ ସ) =0 signifie cos(2x- గ ସ) = − ଵ √ଶ signifie cos(2x- గ ସ)= cos( ଷగ ସ) signifie 2x- గ ସ = ଷగ ସ +2kπ ( k∈ℤ ) ou 2x- గ ସ = - ଷగ ସ +2kπ ( k∈ℤ ) signifie 3).a).Dh = {x ∈ ܫܴ tel que 1+cos(2x)+sin(2x) ≠ 0} = {x ∈ ܫܴ tel que g(x) ≠ 0} =IR\{ x= ஠ ଶ +kπ ( k∈ℤ ) ou x= - ஠ ସ + kπ ( k∈ℤ ) } . b). h(x)=0 signifie ܿ݋ݏ(ݔ) + √3 sin (ݔ) =0 ( ∀ݔ∈ Dh ) signifie 2 cos(x- గ ଷ) =0 ( ∀ݔ∈ Dh ) ( car ܿ݋ݏ(ݔ) + √3 sin (ݔ) = 2 cos(x- గ ଷ) ) signifie cos(x- గ ଷ) =0 ( ∀ݔ∈ Dh ) Signifie x- గ ଷ = గ ଶ + kπ ( k∈ℤ ) signifie BON TRAVAIL x= ૈ ૛ +kπ ( k∈ℤ ) ou x= - ૈ ૝ + kπ ( k∈ℤ ) x= ૞࣊ ૟ + kπ ( k∈ℤ ) uploads/s1/ devoir-de-controle-n02-avec-correction-math-derivabilite-trigonometrie-3eme-sciences-exp-2013-2014-mr-mhamdi-abderrazek 1 .pdf