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1 ESAT Epreuve : Maths Appliquées Ecole Supérieure de l’Aéronautique et Session

1 ESAT Epreuve : Maths Appliquées Ecole Supérieure de l’Aéronautique et Session : Devoir de Maison des Technologies Date : 15/11/2020 Durée : Classe : 3GT Cycle : Ingénieur Documents : Autorisés Calculatrice : Autorisée Remarque préliminaire : Les questions qui se suivent nécessitent une réponse rédigée. Les points ne seront attribués que si les diﬀérentes étapes de la démonstration sont correctement et clairement justiﬁées. NB : Donner tous les résultats numériques avec au minimum 4 chiﬀres signiﬁcatifs après la virgule. Exercice 1. Soit a un réel distinct de 1 √ 3 et −1 √ 3. 1. Calculer tan(3θ) en fonction de tan(θ). 2. Résoudre dans R l’équation 3x −x3 1 −3x2 = 3a −a3 1 −3a2 . On trouvera deux méthodes, l’une algébrique et l’autre utilisant les formules trigonométriques suivantes : tan(α + β) = tan(α) + tan(β) 1 −tan(α) tan(β) et tan(α −β) = tan(α) −tan(β) 1 + tan(α) tan(β). Exercice 2. x 0 1 2 3 4 f(x) 0 2 36 252 1040 1. Obtenir le polynôme de Lagrange passant par les 3 premiers points. 2. Obtenir le polynôme de Lagrange passant par les 4 premiers points. Est-ce possible d’utiliser les calculs faits en (1.) ? 3. Donner l’expression analytique de l’erreur pour les polynômes obtenus en (1.) et en (2.). 4. Obtenir des approximations de f(1, 5) à l’aide des 2 polynômes obtenus en (1.) et en (2.). Indication : Rappelons que le polynôme de Lagrange basé sur les points d’appui d’abscisses x0, x1, . . . , xn est de degré n et s’écrit : Pn(x) = n X i=0 f(xi) Li(x) avec Li(x) = n Y j=0,i̸=j x −xj xi −xj . Rappelons aussi que l’erreur d’interpolation est donnée par, si f ∈Cn+1([x0, xn]), En(x) = f(x) −Pn(x) = 1 (n + 1)! f(n+1)(α) πn(x), où πn(x) = n Y i=0 (x −xi) et α ∈[x0, xn]. uploads/s1/ devoir-de-maison-s1-3gt.pdf