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2 SM A et B Devoir libre N°2 2021/2022 Problème Partie I: Soit f la fonction dé

2 SM A et B Devoir libre N°2 2021/2022 Problème Partie I: Soit f la fonction définie sur R par: $ & % f(x) = 1 x arctan(x) ; si x ‰ 0 f(0) = 1 1 Etudier la parité de f puis montrer que f admet des primitives sur R 2 a Montrer que (@t P R˚ +)(Dc P]0, t2[) : arctan(t) ´ t t2 = ´?c 2(1 + c) b Montrer que f est dérivable en x0 = 0 Partie II: On désigne par F la primitive de f sur R qui s’annule en 0 Soit g la fonction définie sur R par : $ & % g(x) = 1 xF(x) ; si x ‰ 0 g(0) = 1 1 Montrer que g est paire 2 Soient u et v deux fonctions dérivables sur [0, +8[ telles que (@x P]0, +8[) : u1(x) ď v1(x) et u(0) = v(0) a Montrer que (@x P [0, +8[) : u(x) ď v(x) b Déduire que (@x P [0, +8[) : x ´ x3 3 ď arctan(x) ď x c Montrer que (@x P [0, +8[) : x ´ x3 9 ď F(x) ď x d Montrer que g est continue et dérivable en 0 3 Montrer que (@x P [1, +8[) : 0 ď F(x) ď 4?x ; en déduire lim xÑ+8 g(x) 4 a Montrer que g est dérivable sur ]0, +8[ et calculer g1(x) pour tout x P]0, +8[ b Montrer que (@x P]0, +8[) : 1 1 + x2 ď arctan(x) x En déduire que (@x P]0, +8[) : arctan(x) ď F(x) c Dressez le tableau de variation de g puis tracez la courbe (Cg) Exercice Soit f une fonction continue et strictement croissante sur [0, 1] 1 Montrer que (@n P N˚)(D!an P [0, 1]) : f(an) = 1 nf(0) + ( 1 ´ 1 n ) f(1) 2 Montrer que la suite (an) est croissante en déduire qu’elle convergente et calculer sa limite Année Scolaire: 2021 ´ 2022 1 Lydex:Behgurir uploads/s1/ devoir-libre-2.pdf