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1 Lycée Bachir Sfar Amdoun Devoir de contrôle N°1 Mr Ghomriani Béchir Durée :2h

1 Lycée Bachir Sfar Amdoun Devoir de contrôle N°1 Mr Ghomriani Béchir Durée :2h 4ème M 2016-2017 Exercice N°1 : (5 points) Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct   , , o u v ,on désigne par Aet B les points d’affixes respectives 1 1 A B z et z   . On considère l’application f qui à tout point M de  \ P B d’affixe z associe le point ' M d’affixe 1 ' 1 z z z    1. Déterminer les points invariants de f 2. a. Vérifier que    ' 1 1 2 z z    pour tout 1 z  b. En déduire que :      ' 2 , ' , 2 AM BM et que u AM u BM         3. Montrer que si M appartient au cercle de centre B et de rayon 2 alors ' M appartient au cercle de centre A et de rayon 1 4. Soit K le point d’affixe 2 3 K z i  et ' K l’image de K par f a. Déterminer la forme exponentielle de 1 K z  .déduire que   , 2 B K   puis placer le point K b. Soit Q le point d’affixe Q K z z  Montrer que   2 3 ' i Aff AK e    et que   2 3 2 i Aff AQ e    c. En utilisant les questions précédentes proposer une construction de ' K image de K par f Exercice N°2: (6 points) Soit   n U la suite définie sur IN par 0 1 0 3 4 ; n n U U U n IN           1. a. Montrer que 0 4 n U pour tout n IN    b. Montrer que la suite   n U est strictement croissante c. En déduire que la suite   n U est convergente et calculer sa limite 2. On donne le tableau de variation de la fonction g définie sur   0,4 par  3 4 3 4 g x x    x 0 4 ( ) g x 1 2 3 8 a. Montrer que   1 1 4 4 2 n n U U pour tout n IN      b. Déduire que pour tout n IN  on a : 1 4 4 2 n n U         . c. Retrouver alors lim n n U  3. On considère la suite   1 n n S  définie par 1 n n k k S U   a. Montrer que la suite   n S est croissante b. Montrer par l’absurde que   n S n’est pas majorée. c. Déterminer alors lim n n S  4. a. Montrer que 1 4 4 1 2 n n S n                  (On pourra utiliser le résultat de la question 2.b.) b. Retrouver lim n n S  Exercice N°3 : (4 points) 1. Résoudre dans C  l’équation    2 2 : 2e z 2e 0 ; 0, i i E z unréel de        2. Mettre les solutions sous la forme exponentielle 3. Le plan est muni d’un repère orthonormé direct   , , o u v ,on désigne par M et N les points d’affixes respectives     1 1 i i M N z i e et z i e       . Montrer que OM N est un triangle rectangle et isocèle en O 4. a. Montrer que     , 2 2 u MN       b. Déterminer  pour que la droite   MN soit parallèle à la droite :" " y x   Exercice N°4 : (5 points) Dans la figure ci-dessous f  est la courbe représentative d’une fonction f définie et continue sur     , 1 1,    .La droite : 1 D y x  est une asymptote à f  au voisinage de  et que f  admet une branche parabolique de direction celle de   OI au voisinage de  1. Par lecture graphique a. Déterminer  ( ) ( ) lim ( ) ; lim ; lim ( ) ; lim lim x x x x x f x f x f x f x et f x x x x       b. 1 ( ) lim 1 x f x x    et  1 3 lim 1 x f x x     c. Dresser le tableau de variation de f 2. Soit h la fonction définie par :   ( ) h x f f x  .On note h  la courbe de la fonction h a. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction h b. Montrer que :" 2" y x    est une asymptote à h au voisinage de  c. Préciser la branche infinie de h au voisinage de  3. Soit n un entier naturel non nul a. Montrer que l’équation  1 f x n  admet une solution unique   2, 1 n V  b. Montrer que la suite   n V est croissante puis qu’elle est convergente vers 1  3 Lycée Bachir Sfar Amdoun Devoir de contrôle N°1 Mr Ghomriani Béchir Durée :2h 4ème M 2016-2017 uploads/s1/ devoir-de-controle-n01-math-bac-mathematiques-2016-2017-mr-ghomriani-bechir.pdf