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2019–2020 MPSI Devoir Maison No 8 à rendre pour le 06-12-2019. Exercice No 1 :

2019–2020 MPSI Devoir Maison No 8 à rendre pour le 06-12-2019. Exercice No 1 : Déterminer les développements limités qui suivent. 1. DL6(0) de x 7→sin(x) cos(2x). 2. DL4(0) de x 7→ 1 1+x+x2 . 3. DL4(0) de x 7→exp(cos(x)). 4. DL4 π 2 de x 7→sin(x)cos(x). Exercice No 2 : Déterminer les limites qui suivent. 1. lim x→0 2x ln( 1+x 1−x). 2. lim x→+∞(x + 1)e 1 x+1 −xe 1 x . Exercice No 3 : Soit f la fonction déﬁnie sur R par f(x) = 1 1+ex . À l’aide d’un développement limités, donner l’équation de tangente à la courbe au point d’abscisse 0 et préciser la position relative locale de la courbe et de sa tangente. Exercice No 4 : À l’aide des développements limités, étudier les extremums locaux de la fonction déﬁnie sur R par f(x) = 3x4 −2x6. Exercice No 5 : Déterminer les asymptotes de la fonction déﬁnie sur R⋆par f(x) = 1+x 1+exp( 1 x) et préciser la position relative locale de la courbe et de son asymptote. Exercice No 6 : Soit f la fonction déﬁnie sur −π 2 , π 2 par f(x) = 2 tan(x) −x. 1. Montrer que f admet une fonction réciproque de classe C∞sur un intervalle que l’on précisera. 2. Pourquoi f−1 est impaire ? 3. Pourquoi f−1 admet-elle un DL à tout ordre en 0 ? 4. Déterminer le DL6(0) de f−1. 1 uploads/s1/ devoir-maison-8.pdf