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Mécanique des milieux continus Décembre 2021 Devoir N° 3 Une attention particul

Mécanique des milieux continus Décembre 2021 Devoir N° 3 Une attention particulière sera accordée à la rédaction Exercice 1 : (Glissement simple figure 1) En admettant la linéarisation, on exprime : - Tenseur des petites déformations ou tenseur de déformation infinitésimale ´ ε ´ ε= 1 2 [ ´ grad ⃗ U +( ´ grad ⃗ U ) t ] - Tenseur de la rotation rigide ou tenseur de la rotation infinitésimale ´ ω ´ ω= 1 2 [ ´ grad⃗ U −( ´ grad ⃗ U ) t] Considérons une plaque rectangulaire (A0 B0C0D0 ) d’un matériau solide. Cette plaque est soumise à une contrainte telle que pour tout point M de la plaque, les coordonnées à l’instant initial (X 1, X2, X3) et les coordonnées à l’instant actuel (x¿¿1,x2,x3)¿soient reliées par la transformation définie par: x1=X1+ 1 5 X 2 x2=X2 x3=X3 ; 1. Déterminer le gradient du vecteur déplacement ⃗ U ( X ,t ) 2. Déterminer le tenseur de déformation infinitésimale ´ ε 3. Déterminer le tenseur de la rotation infinitésimale rigide ´ ω 4. Donner les transformées des vecteurs ⃗ A0 B0 et ⃗ A0C0 5. Calculer les allongements relatifs et les glissements des vecteurs ⃗ A0 B0 et ⃗ A0C0 Fig. 1 Exercice 2: (Champ des déformations) Soit la transformation linéaire suivante, dans le repère orthonormé R=(O ,⃗ e1,⃗ e2,⃗ e3) Avant déformation Après déformation X2 C0 D0 X1 B0 A0 X2 C D B=B0 X1 A=A0 { x1=(1−αt 2 )X 1−√3 2 αt X2 x2=(1−αt 2 ) X2+ √3 2 αt X1 x1=(1+ αt 2 ) X3 où t désigne le temps, α >0 une constante donnée et où X1,X2 et X3 désignent les coordonnées de la particule M à l'instant t=0. On pose τ=α t. 1- Déterminer le tenseur ´ F (t )de la transformation et le tenseur de Cauchy. 2- Déterminer le tenseur de Green-Lagrange. 3- Déterminer les directions principales de déformation. 4- Soit ⃗ n=cosϑ ⃗ e1+sinϑ ⃗ e2 où ϑ est une constante donnée, et soit la dilatation linéique ε nn dans la direction ⃗ n; donner l'expression de ε nn. Exercice 3 : (Champ des déformations) Soit le champ de déplacement exprimé par : ⃗ u (x, y ,z )=xyz a 2 ⃗ e1+ x 2+ y 2 a ⃗ e2+ a 2x yz ⃗ e3 Trouver le tenseur des petites déformations et le tenseur de la rotation rigide. Exercice 4 : (Mesure des déformations : extensométrie) En un point P d'une plaque soumise à un état de déformation plane, on colle une rosette à trois jauges qui mesurent les dilatations dans trois directions PA, PB et PC contenue dans le plan des déformations (Fig.2). Les mesures obtenues sont respectivement : ε A = 200 μdef , ε B=100 μdef , ε C=150μdef . 1. Déterminer le tenseur linéarisé ε des petites déformations relativement au repère orthonormé direct (P,⃗ e1,⃗ e2) 2. Déterminer les déformations principales et les directions principales de déformations. Exercice 5 (Déformation) Soit une plaque rectangulaire mince (K0) (Fig.3) de cotés (a×b×h) avec h très petit devant aet b. (On suppose qu’il n’y a pas de déformation selon l’épaisseur h). Cette plaque subit une déformation et devient (K ¿selon une loi polynomiale de la forme : { x1=a°+a1X 1+a2 X2+a3 X1 X2 x2=b°+b1X 1+b2 X2+b3 X1 X2 Déterminer : 1. Les coordonnées xi actuelles en fonction des coordonnées Xi initiales. 2. Le champ des déplacements ⃗ u 3. Le tenseur des dilatations [ ´ C ] 4. Le tenseur des déformations linéarisé [´ ε ] Fig. 2 Fig. 3 uploads/s1/ devoir-n03 2 .pdf