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Université d’Antananarivo Mathématique de Base Département de mathématique Facu

Université d’Antananarivo Mathématique de Base Département de mathématique Faculté des Sciences semestre 1 et Informatique Durée : 3 heures session juillet 2017 Document non autorisé Remarques.  Toute tentative de fraude entrainera une note ZERO.  Il est strictement interdit d’emprunter et de faire passer des objets durant l’épreuve. Exercice 1. Soient u = 3 √54 √3+41√5 3 √3 et v = 3 √54 √3−41√5 3 √3 . On pose A = u + v (1) Calculer u3 + v3 et u3 v3 (2) En déduire que A satisfait à une équation du troisième degré. (3) Montrer alors que A  ℕ. Exercice 2. Exprimer un en fonction de n dans chacun des cas suivants : (1)un + 2 – 2un + 1 + 2un = 0 et u0 = u1 =1. (2) un + 1 = un+1 un+2 ; u0 = 0 Exercice 3. Soit   0. On défini la suite (un)n par u0  0 et un + 1 = 1 2 (¿un+❑ un ¿ ). (1) Montrer que pour tout n  ℕ. on a un  0 ; (2) Montrer que un+1 2 -  = ¿¿. (3) Montrer que di n ≥ 1, on a un ≥ √❑. (4) En déduire que la suite (un)n est décroissante. (5) Montrer alors que (un)n converge vers√❑ . (6) Montrer que : un + 1 - √❑ ≤ 1 2√❑ x ¿¿ )2 . (7) Montrer que si u1 - √❑ ≤ k, on a un - √❑ ≤ 2√❑ ( k 2√❑) 2 n−1 . uploads/s1/ examen-mathemathique-de-base-s1.pdf