IPSA −Bachelor 1 Année 2020 −2021 Mathématiques 1 Devoir surveillé n˚1 Durée :
IPSA −Bachelor 1 Année 2020 −2021 Mathématiques 1 Devoir surveillé n˚1 Durée : 2 heures Consignes générales : — L’utilisation de tout type de calculatrice ou tout document est interdit. — Les exercices sont indépendants et peuvent être traités dans le désordre. — La présentation de la copie et la rédaction seront prises en compte dans la notation. — Toutes les réponses devront être justifiées. — Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié. — Si vous pensez que le sujet comporte une erreur, corrigez-là sur votre copie et traitez la question en conséquence. Questions de cours (4 points) 1. Soient E et F deux ensembles et u ∈F(E, F). Donner la définition de : « u est injective ». 2. Soit n ∈N∗. Écrire la formule qui donne n X k=0 k2. 3. Soient x ∈R et n ∈N∗. Montrer par récurrence que : |xn| = |x|n On rappelle que pour tout couple de réels (x, y), on a : |xy| = |x| × |y| 4. Soient A une partie de R et M ∈R. Donner la définition de : « M est un majorant de A ». Exercice 1 (3 points) Soient A et B deux ensembles définis par : A = {(x, y) ∈R2 ; 5y −2x = 1} et B = {(2 −5t, 1 −2t) ; t ∈R} 1. Soit u = (2, 1). Montrer que : u ∈A ∩B 2. Montrer que : B ⊂A 3. Soit (a, b) un couple de réels. L’affirmation ci-dessous est-elle vraie ou fausse ? Affirmation : si (a, b) ∈A alors (a + 2, b + 2) ∈A Exercice 2 (3 points) Dans tout cet exercice, n est un entier naturel non nul. Calculer : a) n X k=0 (4k + 3) b) n Y m=0 2 3m c) n X k=0 4k−1 5k d) n X k=2 ln k + 1 k Exercice 3 (3 points) Résoudre dans R les équations et inéquations suivantes : 1. |2x −1| = 3 2. |x + 4| ⩽6 3. |2x −1| + 2|x −1| = 3 1 Exercice 4 (3 points) On considère l’application f : N 7→Z définie pour tout entier naturel n par : f(n) = n 2 si n est pair −n+1 2 si n est impair 1. Calculer f(4) et f(7). 2. Soient n1 et n2 deux entiers naturels tels que f(n1) = f(n2). (a) Montrer que : n1 = 0 ⇒n2 = 0 (b) Supposons n1 et n2 non nuls. Montrer qu’alors, n1 et n2 ont même parité puis que : n1 = n2 (c) Que peut-on en déduire pour f ? 3. f est-elle bijective ? Si c’est le cas, donner l’expression de f −1. Exercice 5 (2 points) Soient A = {x ∈R ; x2 < 4} et B = 1 n ; n ∈N∗ A et B sont-ils majorés ou minorés ? Si c’est le cas, déterminer leur borne inférieure, leur borne supérieure. Exercice 6 (2 points) 1. Montrer que : ∀x ∈R∗ + , x + 1 x ⩾2 2. Soient n ∈N∗et (ai)1⩽i⩽n une famille de n réels strictements positifs. Montrer que : n X i=1 ai × n X i=1 1 ai ⩾n2 3. Soit n ∈N∗.On note E = ( n X i=1 ai × n X i=1 1 ai ; a1, a2, · · · , an ∈R∗ + ) . Déterminer inf E. −Fin du sujet − Pensez à vous relire ! 2 uploads/s1/ ds1-bma111-sujet-2020-2021.pdf
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- Publié le Aoû 13, 2021
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