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Ecole Nationale d'Ingénieurs de Tunis 26 Octobre 2016 Année Universitaire 2016/

Ecole Nationale d'Ingénieurs de Tunis 26 Octobre 2016 Année Universitaire 2016/2017 Durée 2h00 Documents non autorisés Nombre de pages : 2+Table Calculatrice autorisée Session : Principale Examen de Probabilités NB : La rédaction et la clarté des résultats seront prises en compte. Exercice 1 (3 points) Une pochette contient deux dés. L'un est parfaitement équilibré, mais le second donne un "six" une fois sur deux (les autres faces étant supposées équilibrées). On tire au hasard un dé de la pochette et on le lance. 1. On obtient un "six". Quelle est la probabilité que le dé tiré soit équilibré ? 2. On obtient un "cinq". Quelle est la probabilité que le dé tiré soit équilibré ? Exercice 2 (5 points) Soit X une variable aléatoire absolument continue de densité fX(x) = λ exp(−|x|), ∀x ∈R. 1. (a) Calculer λ puis déterminer la fonction de répartition FX de X. (b) Déterminer la loi de la variable aléatoire Y = |X|. (c) Montrer que X possède des moments de tous les ordres et calculer E(Xn) pour tout entier n. En déduire la moyenne et la variance de X. 2. Soit Z une v.a. indépendante de X et de même loi. Calculer la moyenne et la variance des v.a. S = 2X −Z et T = X2. Indication : On rappelle que la fonction Gamma est dé nie sur R∗ + par Γ(a) = R +∞ 0 xa−1e−xdx et Γ(n) = (n −1)! ∀n ≥1. 1 Exercice 3 (6 points) 1. Soient X et Y deux v.a. discrètes à valeurs dans {xi, i ∈N} ⊂R et {yj, j ∈N} ⊂R. On suppose que la loi conjointe de (X, Y ) est P(X = xi, Y = yj) = uivj, ∀(i, j) ∈N2. Trouver les lois marginales des v.a. X et Y et montrer qu'elles sont indépendantes. 2. Soient A et B deux v.a. indépendantes et de même loi géométrique de paramètre p ∈]0, 1[. (i.e. P(A = k) = P(B = k) = (1 −p)k−1p, ∀k ≥1). On pose Z = B −A et M = min(A, B). (a) Montrer que si m ∈N∗et z ∈Z, P(M = m, Z = z) = P(A = m −z)P(B = m), si z < 0 P(M = m, Z = z) = P(A = m)P(B = m + z), si z ≥0. (b) En déduire que, pour tout (m, z) ∈N∗×Z, P(M = m, Z = z) = p2(1−p)2m−2(1−p)|z|. (c) Montrer que M et Z sont indépendantes. Exercice 4 (6 points) Une usine fabrique des vis dont 3% ont des défauts. On associe à chaque vis la v.a. Xi prenant la valeur 1 si la vis a un défaut et la valeur 0 sinon. 1. Identi er la loi des v.a. Xi. 2. On prélève 1000 vis au hasard. Soit X = P1000 i=1 Xi la v.a. qui suit la loi binomiale B(1000, 0.03). En utilisant le théorème de la limite centrale, quelle est la probabilité : (a) D'avoir plus de 55 vis défectueux ? (b) D'avoir entre 20 et 40 vis défectueux ? 3. On veut 1950 vis sans défauts. Par prudence on en prélève 2000 au hasard. Quelle est la probabilité d'avoir su sament de vis en bon état ? 2 uploads/s1/ exam-proba-oct-16.pdf