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Université Libre de Bruxelles Année académique 2008-2050 Exercices et corrigés

Université Libre de Bruxelles Année académique 2008-2050 Exercices et corrigés de CdI-2 Version β Laurent Claessens Dernière modiﬁcation : 14 mars 2010 http://student.ulb.ac.be/~lclaesse/ 2 Copyright (c) 2008, 2009 Laurent Claessens. Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document under the terms of the GNU Free Documentation License, Version 1.3 or any later version published by the Free Software Foundation ; with no Invariant Sections, no Front- Cover Texts, and no Back-Cover Texts. A copy of the license is included in the section entitled “GNU Free Documentation License”. Table des matières Introduction 7 Les séances d’exercices 9 I Convergences et espaces fonctionnels 11 I.1 Suites et séries de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 I.2 Intégrales de fonctions et domaines non bornées . . . . . . . . . . . 12 I.2.1 Ensembles mesurables de mesure ﬁnie . . . . . . . . . . . . . 12 I.2.2 Fonctions et ensembles non bornés . . . . . . . . . . . . . . 12 I.2.3 Passage à la limite sous le signe intégral . . . . . . . . . . . 13 I.2.4 Théorème de Fubini et changement de variables . . . . . . . 13 I.2.5 Intégrale d’une fonction vectorielle . . . . . . . . . . . . . . 13 I.2.6 Intégrale en dimension un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 I.2.7 Intégrales convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 I.3 Fonctions déﬁnies par des intégrales et régularisation . . . . . . . . 15 I.3.1 Fonction déﬁnies par une intégrale sur un compact . . . . . 15 I.3.2 Intégrale sur un segment variable . . . . . . . . . . . . . . . 15 I.3.3 Intégrales convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 I.3.4 Critères de convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . 16 I.3.5 Fonctions euleriennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 I.3.6 Fonctions à support compact . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 I.3.7 Produit de convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 I.3.8 Régularisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 I.3.9 Théorème d’approximation de Weierstrass . . . . . . . . . . 17 I.4 Quelque propriétés des espaces fonctionnels . . . . . . . . . . . . . . 17 II Équations diﬀérentielles 19 II.1 Théorèmes d’existence et d’unicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 II.1.1 Équations à variables séparées . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 II.1.2 Équations diﬀérentielles sous forme normale . . . . . . . . . 21 II.2 Systèmes diﬀérentiels linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3 4 TABLE DES MATIÈRES II.2.1 La magie de l’exponentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 II.2.2 . . . mais la diﬃculté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 II.2.3 La recette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 II.3 Continuité et dérivabilité des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . 23 II.4 Équations résolubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 II.4.1 Équation à variables séparées . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 II.4.2 Équation linéaire du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . 24 II.4.3 Équations et systèmes linéaire à coeﬃcients constants . . . . 24 II.4.4 Équation homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 II.4.5 L’équation y′ = f at+by+c a′t+b′y+c′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 II.4.6 Équation de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 II.4.7 Équation de Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 II.4.8 Équation diﬀérentielle exacte . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Résolution lorsque tout va bien . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Facteur intégrant (quand tout ne va pas bien) . . . . . . . . 28 II.4.9 Équation d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 II.4.10 Réduction de l’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 II.4.11 L’équation y′′ = f(y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 II.4.12 Équation ne dépendant pas de t . . . . . . . . . . . . . . . . 29 II.4.13 . . . et les autres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 III Foire aux questions 31 III.1 Le coup du compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 III.2 Vitesses de xα, de l’exponentielle et du logarithme . . . . . . . . . . 32 III.3 Remarque : Abel et sin(xt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 III.4 Formes diﬀérentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 III.5 Que faire avec f(z)dz = g(t)dt ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 III.6 Pourquoi la variation des constantes fonctionne toujours ? . . . . . . 35 IV Exercices 37 IV.1 Suites de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 IV.2 Séries de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 IV.3 Existence d’intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 IV.4 Fonctions déﬁnies par des intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 IV.5 Convergence, continuité et dérivation sous le signe intégral . . . . . 44 IV.6 Quelque propriétés des espaces fonctionnels . . . . . . . . . . . . . . 47 IV.7 Équations diﬀérentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 IV.7.1 Équations diﬀérentielles uploads/s1/ exercices-et-corriges-de-cdi-2.pdf