Année 2018-2019 HLMA502 Topologie L3 Mathématiques Contrôle continu (20 décem
Année 2018-2019 HLMA502 Topologie L3 Mathématiques Contrôle continu (20 décembre 2018) durée : 1h30 N.B. Documents, calculatrices, téléphones portables interdits. La qualité de la rédaction et de la présentation sera prise en compte dans la notation. Les exercices sont indépendants. Le barème est indicatif. Partie 1. Démonstrations de cours N.B. En italiques : consignes pour la rédaction des démonstrations. Bien faire apparaître où et comment ces consignes sont utilisées. Exercice 1. (1 point) Soit (X, d) un espace métrique, et soient a ∈X et r > 0. Montrer que le complémentaire de la boule fermée D(a, r) est une partie ouverte de X. Utiliser uniquement les propriétés d'une distance et la dé nition des ouverts d'un espace métrique. Exercice 2. (4 points) Soit (X, d) un espace métrique, et soit A une partie non vide de X. On munit A de la distance induite dA, la restriction de d à A. 1. Soient a ∈A et r > 0. Montrer que BA(a, r) = A ∩BX(a, r), où BX désigne la boule dans X et BA la boule dans A. 2. Montrer que si U est un ouvert de A, alors il existe un ouvert V de X tel que U = A∩V . 3. Montrer la réciproque de la propriété de la question 2. Utiliser la dé nition des ouverts d'un espace métrique. Exercice 3. (1 point) Montrer qu'un espace métrique discret est compact si et seulement s'il est ni. Utiliser la dé nition de la compacité uniquement en termes de recouvrements ouverts. Exercice 4. (2 points) Montrer qu'un espace métrique compact est borné. Pas de consigne particulière. Exercice 5. (2 points) Soit f : X →Y une application continue entre deux espaces métriques, avec X compact. Montrer que f(X) est une partie compacte de Y . Pas de consigne particulière. Bien faire apparaître le rôle de la continuité. Partie 2. Exercices Exercice 6. (2 points) Soit (X, d) un espace métrique, et soient A, B deux parties non vides de X. Montrer l'équivalence : ∀x ∈X, d(x, A) = d(x, B) ⇐ ⇒ A = B Exercice 7. (3 points) Soient X et Y deux espaces métriques, et soit f : X →Y une application. On note Γ := {(x, y) ∈X × Y | y = f(x)} le graphe de f. On munit X × Y de la topologie produit. 1. Montrer que si f est continue, alors Γ est fermé dans X × Y . 2. Montrer que si Γ est fermé dans X × Y et si Y est compact, alors f est continue. Exercice 8. (5 points) Soient (X, d) un espace métrique, et A une partie compacte de X. Pour r > 0, on pose Kr := ∪a∈AD(a, r), où D(a, r) désigne la boule fermée de centre a et de rayon r. 1. Montrer que Kr est une partie fermée de X. On peut utiliser la caractérisation séquen- tielle de partie fermée . 2. On suppose de plus que, pour chaque point x ∈X, la boule fermée D(x, 1) est com- pacte. Montrer qu'alors K1/2 est compact. On peut utiliser la compacité séquentielle. 2 uploads/s1/ hlma502-1819-cc1-rattrapage.pdf
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- Publié le Aoû 02, 2022
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