Master Ingénierie Nucléaire (IN) – M2 Neutronique 7–8. Diffusion des Neutrons,

Master Ingénierie Nucléaire (IN) – M2 Neutronique 7–8. Diffusion des Neutrons, Théorie à un groupe, théorie multi-groupe 1. Pile “nue” parallélépipédique On considère un réacteur constitué d’un matériau multiplicateur de neutrons en forme de parallélé- pipède rectangle de dimensions a × b × c. Ce réacteur est supposé entouré d’un matériau qui absorbe totalement les neutrons. 1.1 — Dans l’approximation de la diffusion, et en considérant les neutrons comme monocinétiques (théorie de la diffusion à un groupe), écrivez l’équation à laquelle obéit le flux des neutrons φ(r). On se placera dans l’hypothèse d’un réacteur stationnaire et donc critique. On pose : M2 = 1 κ2 = D Σa Aire de Migration χ2 = ¯ νΣf −Σa D = k∞−1 M2 1.2 — Explicitez les conditions aux limites du réacteur, et l’approximation à la frontière extrapolée du réacteur. 1.3 — Résolvez l’équation et exprimez le flux φ(r). On aura intérêt à factoriser le flux sur les trois axes x, y et z. 1.4 — Écrivez la condition de criticité pour ce réacteur. Déduisez-en la probabilité de non-fuite et de fuite du réacteur. 2. Pile “nue” cylindrique On considère une pile cylindrique de rayon R et de hauteur H constitué d’un matériau multiplicateur, entouré d’un matériau absorbant totalement les neutrons (“corps noir”). 2.1 — Dans l’approximation de la diffusion, et en considérant les neutrons comme monocinétiques (théorie de la diffusion à un groupe), écrivez l’équation à laquelle obéit le flux des neutrons φ(r). On se placera dans le régime stationnaire. 2.2 — Quelles sont les symétries de ce système ? Écrivez l’équation précédente en factorisant le flux sous la forme : φ(r) = f(ρ) × g(z) Montrez que l’on aboutit à deux équations différentielles indépendantes pour f et g. 2.3 — Résolvez l’équation sur g. Explicitez les conditions aux limites. On choisira l’origine z = 0 à l’extrémité inférieure du cylindre. 2.4 — En faisant le changement de variable adéquat, montrez que f est solution d’une équation de Bessel d’ordre ν : d2y dx2 + 1 x dy dx ±  1 −ν2 x2  y = 0 En discutant la forme des solutions possibles (fonctions de Bessel), montrez que la solution est néces- sairement de la forme : f(ρ) = A × J0(µρ) Déterminez µ. 2.5 — Écrivez la condition de criticité pour ce réacteur cylindrique, et déduisez-en l’expression de la probabilité de non-fuite. 3. Réflecteur de neutrons : notion d’albédo On considère un réacteur plan infini, formé d’un matériau multiplicateur, suivi d’un matériau réflec- teur d’épaisseur e, et enfin d’un matériau absorbant totalement les neutrons.                   x 0 e réacteur réflecteur "corps noir" J+ − J 3.1 — Écrivez l’équation que vérifie le flux des neutrons dans la région du matériau réflecteur. Expli- citez la condition à la limite x = e en considérant qu’il s’agit de la position de la surface extrapolée. 3.2 — À la frontière en x = 0, il y a continuité du flux φ, et du courant J, ou encore de la dérivée dφ/dx. On appellera φ(0) = φ(x = 0) le flux (non nul) en x = 0. Résolvez l’équation dans la région du réflecteur. 3.3 — On appelle “albédo” le rapport β entre le courant sortant intégré J+ et le courant entrant intégré J−à la frontière entre le coeur et le réflecteur. On pose ainsi : β = J− J+ L’albédo caractérise la capacité du matériau réflecteur à renvoyer les neutrons dans le réacteur. On rappelle les expressions de J+ et J−: J+ = φ 4 −D 2 dφ dx J−= φ 4 + D 2 dφ dx Déterminez l’albédo β en fonction de κ, e et D. Quelle est la limite β∞pour une plaque telle que e ≫1/κ ? Matériau D (cm) Σa (cm−1) M = 1/κ (cm) β∞ Eau ordinaire 0.2 0.021 3 0.8 Eau lourde 0.8 5 × 10−5 130 0.9 Graphite 0.8 2.7 × 10−4 55 0.94 TABLE 1 – Caractéristiques de quelques matériaux réflecteurs pour des neutrons thermiques. 3.4 — La connaissance de l’albedo du matériau réflecteur fournit une condition à la limite du coeur sur le flux φ. Montrez que cela se traduit par une condition à la limite sur le flux φ de la forme :  1 φ dφ dx  x=0 = −1 2D 1 −β 1 + β 4. Notion d’“économie” de réflecteur On considère un réacteur plaque infini d’épaisseur 2a (figure ci-après), entouré d’un réflecteur d’al- bédo β∞connu d’épaisseur e ≫1/κ. 4.1 — Résolvez l’équation de la diffusion et donnez l’expression du flux dans la région du coeur et dans le réflecteur.                                     x réflecteur 0 réflecteur coeur a+e −a a −a−e "corps noir" "corps noir" 4.2 — Exprimez la condition de criticité de ce réacteur à partir des conditions aux limites en x = ±a. Montrez que les conditions aux limites ne permettent pas de déterminer le niveau général du flux neutronique. 4.3 — Résolvez le même problème pour un réacteur plan infini d’épaisseur 2a′ sans réflecteur (réac- teur “nu”). 4.4 — Comparez les deux configurations. Exprimez la différence δ = a′ −a qui représente l’économie faite sur l’épaisseur du coeur grâce à la présence du réflecteur, qu’on nomme souvent “économie de réflecteur”. En prenant l’expression asymptotique de l’albédo, et en confondant la tangente avec son argument, montrez que δ ≈(Dc/Dr)/κr. 5. Pile réfléchie : théorie à deux groupes On s’intéresse à un réacteur plaque infini, d’épaisseur 2a, entouré d’un réflecteur d’épaisseur e, puis d’un matériau totalement absorbant. On souhaite traiter le calcul du flux neutronique dans le formalisme multigroupes, avec deux groupes : — groupe 1 : neutrons rapides et épithermiques ; — groupe 2 : neutrons thermiques. 5.1 — Dans l’approximation de la diffusion, écrivez les équations différentielles qui régissent les flux φ1(r) et φ2(r). On posera : Σr = Σ1→2 Σ1 = Σa,1 + Σ1→2 Σ2 = Σa,1 5.2 — Faites apparaître le facteur de fissions rapides ε, le produit fη ainsi que le facteur anti-trappes p dans le système d’équations différentielles obtenues. Vous pourrez ainsi faire apparaître k∞. 5.3 — Avec deux groupes, la solution générale est la combinaison linéaire de 2 × 2 = 4 solutions. On cherchera des solutions proportionnelles à la même fonction propre du laplacien : φ1(r) = φ1(x) φ2(r) = s φ1(x) Avec ∆φ1(r) + λφ1(r) = 0 En distinguant les différents cas pour k∞> 1, k∞< 1 et k∞= 0 (région du réflecteur), exprimez les différentes valeurs propres λ et les valeurs associées du coefficient s. On posera : L2 1 = D1 Σ1 L2 2 = D2 Σ2 M2 = L2 1 + L2 2 En considérant que le réacteur est de grande taille, on fera l’approximation k∞très peu différent de 1. 5.4 — Résolvez les équations dans le coeur et dans le réflecteur, pour φ1 et φ2. 5.5 — La continuité des flux et des courants en x = a et en x = −a permet d’écrire un système d’équations linéaires qui fournit toutes les constantes sauf une. La condition de criticité s’exprime à travers la nullité du déterminant de ce système d’équations. Écrivez ce système et la condition de criticité (c’est un peu long et fastidieux...). 6. Pile cylindrique réfléchie : théorie à deux groupes Reprenez le calcul précédent, mais cette fois pour une pile cylindrique de rayon a et de hauteur infinie, entourée d’un matériau réflecteur d’épaisseur e. Fonctions de Bessel Équation de Bessel d’ordre ν : d2y dx2 + 1 x dy dx +  1 −ν2 x2  y = 0 Solutions régulières à l’origine : Jν(x). Zéros j0,i de J0(x) : j0,1 = 2.40483, j0,2 = 5.52008, j0,3 = 8.65373, ... Zéros j1,i de J1(x) : j1,1 = 3.83171, j1,2 = 7.01559, j1,3 = 10.17347, ... Solutions singulières à l’origine : Yν(x) = Nν(x) = cos πν Jν(x) −J−ν(x) sin πν Équation de Bessel modifiée d’ordre ν : d2y dx2 + 1 x dy dx −  1 −ν2 x2  y = 0 Solutions régulières à l’origine : Iν(x) = i−νJν(x) Solutions singulières à l’origine : Kν(x) = π 2 I−ν(x) −Iν(x) sin πν uploads/s3/ 06-07-08-exercices.pdf

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Administration  matériau neutrons réacteur
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