Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Université Claude Bernard - Lyon 1 Semestre de printemps 2019-2020 Cursus prépa

Université Claude Bernard - Lyon 1 Semestre de printemps 2019-2020 Cursus préparatoire — Fondamentaux des mathématiques 2 5 février 2020 Devoir surveillé no 1 Durée : 1 h 30 ATTENTION ! LA RÉDACTION MATHÉMATIQUE ET LA PRÉSENTATION DE VOTRE COPIE SERONT PRISES EN COMPTE DANS LA NOTATION. Exercice 1 Échelonner en lignes la matrice A suivante, puis déterminer son noyau. Vous ferez apparaître vos opérations et toutes les étapes de votre algorithme de calcul. A =     2 3 3 1 1 2 1 3 3 1 5 2 2 2 3 2    . Exercice 2 On note I la matrice identité de M3(R) et on considère M =   −7 0 −8 4 1 4 4 0 5  . Les questions 1 et 2 de cet exercice sont indépendantes ; elles ont chacune pour but de calculer M n pour tout n ⩾0. 1. Soit A = 1 4(M −I). (a) Calculer A2 et A3. En déduire, en la démontrant, une expression simple de An pour tout n ⩾1. (b) En procédant par récurrence, montrer qu’il existe une suite (un)n⩾0 telle que ∀n ⩾0, M n = I + unA. On vériﬁera que (un)n⩾0 satisfait une relation de récurrence de la forme un+1 = aun + b. (c) Calculer un en fonction de n. Indication : considérer vn = un −1. (d) En déduire une expression du coeﬃcient de M n situé en première ligne et première colonne. 2. Soit J = 1 4(M + 3I). (a) Calculer J2 puis Jn pour tout n ⩾1. (b) Calculer M n en fonction de n, I et J pour tout n ⩾1. On rappelle la formule du binôme : si A et B sont deux matrices telles que AB = BA, alors (A + B)n = n X k=0 n k An−kBk. (c) En déduire une expression du coeﬃcient de M n situé en première ligne et première colonne. Exercice 3 On considère la fonction f : x 7− →1 2 Arcsin(2x √ 1 −x2). 1. Justiﬁer que l’ensemble de déﬁnition de f est [−1, 1]. 2. Montrer que f est dérivable sur ] −1, 1[\{−x0, x0} pour une valeur de x0 > 0 à déterminer. 3. Calculer f ′(x) pour tout x ∈] −1, 1[\{−x0, x0}. 4. En déduire une expression plus simple de f sur [0, x0[ et sur ]x0, 1[. 5. Donner l’allure du graphe de f. Vous expliquerez en particulier comment vous aurez tracé la partie du graphe correspondant à [−1, 0]. Exercice 4 Soit f : R →R une fonction continue. On suppose que f a des limites ﬁnies en +∞et −∞, notées respectivement ℓet ℓ′. 1. Représenter graphiquement une fonction f vériﬁant ces hypothèses. 2. (a) Montrer que pour tout ε > 0, il existe a, b ∈R avec a < b, et tels que : ∀x ∈] −∞, a] ∪[b, +∞[, min(ℓ, ℓ′) −ε ⩽f(x) ⩽max(ℓ, ℓ′) + ε. (b) En déduire que f est bornée sur R. 3. On suppose qu’il existe x0 ∈R tel que f(x0) > max(ℓ, ℓ′). (a) Montrer qu’il existe a, b ∈R avec a < x0 < b, et tels que : ∀x ∈] −∞, a] ∪[b, +∞[, f(x) ⩽f(x0). (b) Montrer que sup x∈R f(x) = sup x∈[a,b] f(x). (c) En déduire que f atteint sa borne supérieure sur R. 4. Si la fonction f ne vériﬁe pas l’hypothèse faite au début de la question 3, atteint-elle encore nécessairement sa borne supérieure sur R ? uploads/s3/ 19-20-fdm2-ds1.pdf