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1 2 1 - Classifications des équations aux dérivées partielles (EDP) : 1.1 - Déf

1 2 1 - Classifications des équations aux dérivées partielles (EDP) : 1.1 - Définitions : Une équation aux dérivées partielles (E.D.P) est une relation faisant intervenir les variables indépendantes x1,……,xn, la fonction u et ses dérivées partielles. Par exemple, si u est une fonction de deux variables, une E.D.P peut s'écrire par la relation : * On appelle ordre de l'E.D.P l'ordre le plus élevé des dérivées partielles intervenant dans l'E.D.P, par exemple : ux2 y  3uxx  xuyy  ux  u  c  0 est d'ordre 3 (uxx  uyy )  4(uxy )2  c  0 est d'ordre 2 * L'E.D.P est dite linéaire si f est linéaire par rapport à ses arguments u et ses dérivées partielles, et si les coefficients qui les lient ne dépendent que de (x,y); sinon elle est non linéaire. Par exemple, l'E.D.P du second ordre : al uxx + a2 uxy + a3 uyy + a4 ux + a5 uy + a6 u + a7 = 0 I-1 est linéaire si les ai ne dépendent que de (x,y). 2 1.2 - Classification mathématique des E.D.P linéaires du 2nd ordre (cas de deux variables indépendantes) : De très nombreux phénomènes physiques se traduisent par des E.D.P linéaires du second ordre du type (I.1) qui peuvent s'écrire sous la forme : a uxx + 2 b uxy + c uyy = d I-2 où a, b et c ne dépendent que de (x,y) et d est une fonction linéaire de (x, y, u,ux,uy ) Il y a trois types d'équations aux dérivées partielles représentés par l’équation (I.2). Lorsque la quantité  (= b2 - 4 ac) < 0 l'équation (I.2) est dite du type elliptique. Lorsque  0 elle est dite du type parabolique. Lorsque   0 , elle est dite du type hyperbolique. Cette appellation est faite par analogie avec l'équation générale du second ordre en géométrie analytique : a x2 + 2 b xy + c y2 = d I-3 Ainsi, selon le signe du discriminant b2 - 4 ac, nous obtenons différentes formes géométriques : 3 1.3 - Classification mathématique dans le cas général (n variables indépendantes) : Si u est une fonction de n variables indépendantes, les E.D.P. linéaires du second ordre sont du type * Si tous les ai sont non nuls et de même signe, l'E.D.P est de type elliptique. * Si tous les ai sont non nuls et sont; à une exception près, de même signe, l'E.D.P. est de type hyperbolique. * Si un seul des ai est nul (noté ai0) et tous les autres de même signe et si bi0 est non nul l'E.D.P. est de type parabolique. Les fonctions ai et bi étant dépendantes des variables (xl ,…, xn), la classification est évidemment fonction du point (xl ,…, xn) considéré. Une E.D.P. peut donc être de différents types suivant les points considérés : on dit qu'elle est de type mixte. 4 Exemples : Soient U(x,y) une fonction de deux variables et V(x,y,t) une fonction de trois variables.  2U x 2  2V t 2  2U  y 2  2V  x 2  0  2V  y 2 est une E.D.P elliptique est une E.D.P hyperbolique V  t  2V x 2  2V  y 2 est une E.D.P parabolique  2U x x 2  2U   0 y 2 est une E.D.P Elliptique pour hyperbolique pour parabolique pour x  0 x  0 x  0 2 - Classification physique des E.D.P : De nombreux phénomènes physiques se rangent dans l'une des classes suivantes :  Les problèmes d'équilibre étudient l'état stationnaire d'un phénomène (champ, chaleur, etc...) dans un domaine borné ou non. Ils sont gouvernés par des E.D.P elliptiques.  Les problèmes d'évolution étudient l'évolution avec le temps d'un phénomène (champ, chaleur, vibration, etc...) à partir d'un état initial donné. Ils sont gouvernés par des E.D.P hyperboliques ou des E.D.P paraboliques. 5 Exemples : a) Equation de la chaleur : La conduction thermique à l'intérieur d'un domaine D bidimensionnel provoque un changement de la température T (t,x,y), qui est régi, en l'absence de source de chaleur par l'E.D.P : où k,  , c sont respectivement la conductivité thermique, la masse volumique et la chaleur spécifique du solide constituant le domaine D. Lorsque k dépend seulement de la position (x,y), l'E.D.P est linéaire; si k dépend de la température T, l'E.D.P est non linéaire. Dans la majorité des cas rencontrés, on considère k comme constante et alors l'équation précédente peut être réécrite sous la forme :   k  c est le coefficient de diffusion thermique T  2T x 2  2T  y 2 désigne le Laplacien de T 6 b) Equation des ondes : Considérons une membrane mince occupant au repos un domaine D bidimensionnel de frontière F. Si on suppose :  que la membrane est homogène et parfaitement élastique  qu'elle est soumise à une tension T constante  que les mouvements latéraux (dans le plan de la membrane) sont négligeables  que les déplacements verticaux (perpendiculaires au plan de la membrane) z (t,x,y) sont de petite amplitude. Alors les déplacements z(t , x , y) sont gouvernés par l'E.D.P où   masse volumique de la membrane. f = force extérieure à laquelle elle est soumise, par exemple la gravitation. Ici aussi, les conditions à la frontière F peuvent être de différents types L'équation des ondes intervient aussi dans de nombreux phénomènes autres que le mouvement vertical d'une membrane horizontale : courant électrique dans un circuit, ondes acoustiques ou champs électriques dans les des d'ondes, etc... 7 c) Equations de Laplace et de Poisson : Plusieurs phénomènes sont régis par des E.D.P de la forme suivante : I-4 Appelée équation de Laplace. Par exemple, en régime stationnaire de la conduction de la chaleur, la température T(x , y) est régie par l'E.D.P I-5 où k est la conductivité thermique et f une fonction donnant l'apport des sources / puits de chaleur extérieurs. Lorsque k ne dépend pas de la position (x , y), l'équation (I-5) devient : Il s'agit de l'équation de Poisson ( si A=0). L'équation de Poisson est rencontrée aussi en électrostatique sous la forme  est le potentiel électrique et  la densité de charge. La même équation est utilisée aussi en élasticité pour calculer la fonction  dont on peut avoir l'angle de torsion d'un cylindre soumis à des forces de rotation opposées. d) Equation du téléphone : La variation du voltage V le long d'un fil de transmission peut être prédite par l'E.D.P où R, L désignent la résistance et l'inductance par unité de longueur. c et G désignent la capacité et la conductivité par unité de longueur. 55 3 - Types de conditions aux limites : D'après les exemples donnés ci-dessus nous pouvons remarquer que les conditions aux limites sont de trois types : 1. Lorsqu'on précise la valeur de la solution u du problème sur la frontière F du domaine D la condition aux limites est dite du type Dirichlet. 2. Lorsqu'on impose le flux de la solution u à travers la frontière : la condition aux limites est alors dite du type Neumann. 3. Si on impose une relation entre la valeur de u sur la frontière et le flux à travers celle-ci : la condition aux limites est dite de type mixte ou de 3ème type. uploads/s3/ 1-classifications-des-equations-aux-derivees-partielles-edp.pdf