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Architecture des ordinateurs et systèmes d’exploitation Corrigé du TD 3: Algèbr

Architecture des ordinateurs et systèmes d’exploitation Corrigé du TD 3: Algèbre de BOOLE Marcel Bosc Christophe Dehlinger Arnaud Giersch Mathieu Haefele Benoît Meister Nicolas Passat 1. Montrer comment l’opérateur et peut être obtenu à partir des opérateurs ou et non. De même pour l’opérateur ou avec les opérateurs et et non. Correction : non(a ou b) = (non a) et (non b) ⇒non((non a) ou (non b)) = a et b non(a et b) = (non a) ou (non b) ⇒non((non a) et (non b)) = a ou b 2. On note respectivement les opérateurs ou, et, xor et non par +,·,⊕et . Montrer à l’aide de tables de vérité que A⊕B = A·B+A·B et que A⊕B = (A+B)·(A+B) Correction : Tables de vérités : A B A B A⊕B A·B A·B A·B+A·B 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 A B A B A⊕B A+B A+B (A+B)·(A+B) 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 3. Montrer que A+(A·B) = A+B et que A·(A+B) = A·B Correction : On utilise la distributivité de l’opérateur ou sur l’opérateur et, et inversement : A+(A·B) = (A+A).(A+B) = 1.(A+B) = A+B A·(A+B) = (A·A)+(A·B) = 0+(A·B) = A·B 4. Déterminer le complément de l’expression A+B·C Correction : On utilise les lois de de Morgan ; l’opérateur et est prioritaire : A+B·C = A·B·C = A·(B+C) = A·B+A·C 5. Montrer que les deux règles d’associativité sont duales, i.e. montrer qu’à partir de la règle d’associativité de l’opérateur ou, on peut déduire, en utilisant les lois de de Morgan, l’associativité de l’opérateur et (et inverse- ment). Correction : A+(B+C) = (A+B)+C ⇔ A+(B+C) = (A+B)+C ⇔ A·(B·C) = (A·B)·C A, B, et C sont des variables muettes. Par changement de variable {(A →A′),(B →B′),(C →)C′} on obtient la propriété d’associativité du ou : A′ ·(B′ ·C′) = (A′ ·B′)·C′ 1 6. Écrire l’expression A⊕B uniquement avec les opérateurs ou, et et non Correction : D’après 2. : A⊕B = A·B+A·B ⇔ A⊕B = A·B+A·B ⇔ A⊕B = (A+B)·(A+B) 7. Montrer que la fonction nor forme un groupe logique complet. Correction : Pour cela, on montre que la fonction nor permet d’exprimer tous les opérateurs logiques : – non : nor(A,A) = A – et : nor(nor(A,A),nor(B,B)) = nor(A,B) = A+B = A·B – ou : nor(nor(A,B),nor(A,B)) = nor(A,B) = (A+B) = (A+B). 8. Simpliﬁer au maximum les expressions logiques suivantes. (a) A·B+A·B Correction : A·B+A·B = (A+A)·B = 1·B = B (b) (A+B)·(A+B) Correction : (A+B)·(A+B) = A+B·B = A+0 = A (c) A+A·B Correction : A+A·B = A·1+A·B = A·(1+B) = A·1 = A (d) A·(A+B) Correction : A·(A+B) = (A+0)·(A+B) = A+0·B = A+0 = A (e) A·B+A+B+C +D Correction : A·B+A+B+C +D = (A+B)·(A+B+C +D) = (A+B)·((A+B)+(C +D)) donc, d’après l’exercice 8d, = A+B (f) A+B·C +A·(B·C)·(A·D+B) Correction : A+B·C +A·(B·C)·(A·D+B) = (A+B·C)+(A+B·C)·(A·D+B) d’après l’exercice 3, A+B·C +A·(B·C)·(A·D+B) = (A+B·C)+(A·D+B) = (A+A·D)+(B+B·C) d’après l’exercice 8c, A+B·C +A·(B·C)·(A·D+B) = A+B (g) (A⊕B)·B+A·B 2 Correction : d’après l’exercice 2, (A⊕B)·B+A·B = (A·B+A·B)·B+A·B = A·B+A·B·B+A·B = A·B+A·B d’après l’exercice 8a, = B (h) A+A·B+A·B Correction : A+A·B+A·B = (A+A·B)+A·B d’après l’excercice 3, A+A·B+A·B = (A+B)+(A+B) = 1 9. Démontrer que toute fonction à trois variables F(A,B,C) est égale à F(A,B,C) = A·F(1,B,C)+A·F(0,B,C) Correction : A est une variable booléenne : les deux valeurs qu’elle peut prendre sont 0 et 1 : – si A = 0, 0·F(1,B,C)+1·F(0,B,C) = F(0,B,C) = F(A,B,C) ; – si A = 1, 1·F(1,B,C)+0·F(0,B,C) = F(1,B,C) = F(A,B,C). 10. Montrer que les lois de de Morgan s’étendent à un nombre quelconque de variables. Correction : (a) A1 ·A2 ·····An = A1 +A2 +···+An avec n ≥2. La démonstration se fait par récurrence sur n (le nombre de variables). n = 2 c’est la loi de de Morgan « basique » ; n > 2 on utilise l’associativité de + et · : A1 ·A2 ·····An = (A1 ·A2 ·····An−1)·An = (A1 ·A2 ·····An−1)+An = (A1 +A2 +···+An−1)+An = A1 +A2 +···+An−1 +An (b) A1 +A2 +···+An = A1 ·A2 ·····An avec n ≥2. Le raisonnement est similaire. 11. Génération et simpliﬁcation d’expressions logiques Considérer la fonction déﬁnie par la table de vérité ci-dessous : A B C F(A,B,C) 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 3 (a) Générer une expression logique correspondante : i. sous forme de sommes de produits ; Correction : A·B·C +A·B·C +A·B·C +A·B·C +A·B·C ii. sous forme de produits de sommes. Correction : A·B·C +A·B·C +A·B·C = (A+B+C)·(A+B+C)·(A+B+C) (b) Simpliﬁer les deux expressions en utilisant les règles de l’algèbre de Boole. Correction : i. A·B·C +A·B·C +A·B·C +A·B·C +A·B·C = A·B·C +(A+A)·B·C +A·B·(C +C) = A·B·C +B·C +A·B = (A+A·C)·B+B·C = (A+C)·B+B·C = A·B+B·C +B·C = A·B+(B⊕C) ii. (A+B+C)·(A+B+C)·(A+B+C) = (A·A+A·B+A·C +B·A+B·B+B·C +C ·A+C ·B+C ·C)·(A+B+C) = (A+A·B+A·C +A·B+A·C +B·C +B·C)·(A+B+C) = A·A+A·B·A+A·C ·A+A·B·A+A·C ·A+B·C ·A+B·C ·A+ A·B+A·B·B+A·C ·B+A·B·B+A·C ·B+B·C ·B+B·C ·B+ A·C +A·B·C +A·C ·C +A·B·C +A·C ·C +B·C ·C +B·C ·C = A·B·C +A·B+A·B·C +A·B·C +A·C +B·C +B·C = (A·B)·(1+C +C)+B·C +(A+1)·(B·C) = A·B+B·C +B·C = A·B+(B⊕C) 4 uploads/s3/ corrige-td03-telecharger 1 .pdf