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1 NOTION DE FONCTION Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/E4SY8_L-DTA I. N

1 NOTION DE FONCTION Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/E4SY8_L-DTA I. Notations et vocabulaire Un groupe scolaire se rend au théâtre pour assister à un spectacle. Le prix d’entrée à ce spectacle est de 4 € par élève. On désigne par x le nombre d’élèves. 1) Calculons par exemple le prix total à payer pour x = 20 élèves. Dans ce cas, le prix total pour le groupe est égal à : 20 x 4 = 80 €. 2) Même question pour x = 30, puis x = 50. Si x = 30, le prix total est : 30 x 4 = 120 €. Si x = 50, le prix total est : 50 x 4 = 200 €. 3) Supposons qu’on ne connaisse pas le nombre d’élèves. Dans ce cas, le prix à payer en fonction de x est égal à : x×4=4 x 4) Pour chaque nombre x, on a fait correspondre un nombre égal au prix à payer. Par exemple : 30 ⟼ 120 50 ⟼ 200 De façon générale, on note : x 4 x x ⟼ 4 x se lit « à x, on associe 4 x ». La correspondance qu’on a établie entre x et 4 x peut porter un nom. On va l’appeler f , et on note : f : x 4 x f est appelée une fonction. C’est une « machine » mathématique qui, à un nombre donné, fait correspondre un autre nombre. ↦ Nombre de départ Nombre associé La fonction f dépend donc de la valeur de x choisie au départ et varie en fonction de cette valeur x. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr f x 4x 2 x est ainsi appelée la variable. On note également : f (x)=4 x f (x) se lit « f de x ». f :30⟼120 peut donc s’écrire : f (30)=120 5) On peut résumer les résultats précédents dans un tableau qui s’appelle « tableau de valeurs ». x 20 30 50 f (x) 80 120 200 II. Image et antécédent par une fonction Exemples : On a vu au paragraphe I, que : 30 ⟼ 120 On dit que : - l’image de 30 par la fonction f est 120. - un antécédent de 120 par f est 30. Méthode : Déterminer une image et un antécédent par une fonction Vidéo https://youtu.be/BHrBGehewi0 Vidéo https://youtu.be/EOS5bSPTZjg Vidéo https://youtu.be/FjqPwHS7vE8 Soit la fonction f définie par f (x)=¿ √x+1. 1) Compléter le tableau de valeurs : 2) Compléter alors : a) L’image de 4 par f est … b) Un antécédent de 5 par f est … c) f : … ⟼4,2 d) f(20,25) = … 3) Calculer f(4,41) et f(1310,44) 1) Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr x 4 10,24 16 20,25 f(x) x 4 10,24 16 20,25 f(x) 3 4,2 5 5,5 Antécédent de 120 Image de 30 3 2) On lit dans le tableau : a) L’image de 4 par f est 3. b) Un antécédent de 5 par f est 16. c) f : 10,24 ⟼ 4,2 d) f(20,25) = 5,5 3) A l’aide de la calculatrice, on obtient : f(4,41) = √4,41+1 = 2,1 + 1 = 3,1 et f(1310,44) = √1310,44+1 = 36,2 + 1 = 37,2 Méthode : Déterminer un antécédent par calcul Vidéo https://youtu.be/0NakIDu5dQU Soit la fonction f définie par f (x )=2 x−3. Déterminer un antécédent de −5 par la fonction f . Un antécédent x de −5 par la fonction f est tel que : f : x ⟼−5 Soit f (x )=−5 Soit encore : 2 x−3=−5 On résout ainsi l’équation : 2 x=3−5 2 x=−2 x=−1 Un antécédent de −5 par f est donc −1. Remarques : - Un nombre possède une unique image par une fonction. - Cependant, un nombre peut posséder plusieurs antécédents. Par exemple : Soit la fonction f définie par f (x )=x 2. On a : f (2)=2 2=4 et f (−2 )=(−2) 2=4. On en déduit que 4 possède deux antécédents qui sont 2 et −2. III. Représentation graphique d’une fonction 1) Construction d’une courbe Vidéo https://youtu.be/xHJNdrhzY4Q Soit la fonction f définie par f (x)=¿ 5 x−x 2. On complète un tableau de valeurs de la fonction f : x 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 f (x) 4 5,25 6 6,25 6 5,25 4 2,25 Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr 4 On représente les données du tableau de valeurs dans un repère tel qu’on trouve en abscisse les valeurs de xet en ordonnée les valeurs de f (x) correspondante. En reliant les points, on obtient une courbe C. Tout point de la courbe C possède donc des coordonnées de la forme (x ; f (x)). Ouvrir le logiciel GeoGebra et saisir directement l’expression de la fonction f . Dans la barre de saisie, on écrira : f(x)=5x-x^2 La courbe affichée de la fonction f dépasse les limites des valeurs du tableau. L’expression de la fonction f accepte par exemple des valeurs négatives de x. En latin, « curbus » désignait ce qui est courbé. On retrouve le mot en ancien français sous la forme de « corbe ». Le corbeau est ainsi appelé à cause de la forme de son bec. 2) Lectures graphiques Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr C x (4 ; (4)) 5 Méthode : Lire graphiquement une image et un antécédent Vidéo https://youtu.be/gQUt5y8LFKk On considère la fonction f représentée ci-contre. Déterminer graphiquement : a) L’image de 7 par la fonction f. b) Trois antécédents de 1 par la fonction f. a) Pour déterminer l’image de 7, on « part » de l’abscisse 7, on « rejoint » la courbe et on lit la valeur correspondante sur l’axe des ordonnées. On lit donc que l’image de 7 est 4. On peut noter : f (7) = 4. b) Pour déterminer des antécédents de 1, on « part » de l’ordonnée 1, on « rejoint » la courbe et on lit les valeurs correspondantes sur l’axe des abscisses. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr 6 On lit donc que des antécédents de 1 sont 1, 4 et 6,6. On peut par exemple noter : f (4) = 1. TP info : « Fonctions trigonométriques » http://www.maths-et-tiques.fr/telech/TP_Trigo.pdf http://www.maths-et-tiques.fr/telech/TP_Trigo.ods (feuille de calcul OOo) Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr Hors du cadre de la classe, aucune reproduction, même partielle, autres que celles prévues à l'article L 122-5 du code de la propriété intellectuelle, ne peut être faite de ce site sans l'autorisation expresse de l'auteur. www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales uploads/s3/ 19notion-fonction.pdf