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Mme Morel-TS 1 La fonction exponentielle Les d´ emonstrations ﬁgurant dans ce c

Mme Morel-TS 1 La fonction exponentielle Les d´ emonstrations ﬁgurant dans ce cours sont ` a connaˆ ıtre. 1 L’´ equation diﬀ´ erentielle y ′ = y avec y(0) = 1 1.1 La loi de d´ esint´ egration radioactive Voir le livre p 102 et le TP fait sur Excel. 1.2 R´ esolution approch´ ee par la m´ ethode d’Euler Voir les exercices faits en classe et les exercices r´ esolus du livre pages 93 et 95. 1.3 R´ esolution Th´ eor` eme 1.1. Il existe une unique fonction f d´ erivable sur R telle que f ′ = f et f(0) = 1. D´ emonstration : 1. Existence : Cette existence peut se montrer ` a l’aide de suites adjacentes. La d´ emonstration n’est pas ` a connaˆ ıtre. Elle sera faite ult´ erieurement. 2. Cons´ equence de l’existence d’une solution : pour tout x ∈R, f(−x)f(x) = 1 et f ne s’annule pas sur R Pour tout x r´ eel, on pose : ϕ(x) = f(x)f(−x). f ´ etant d´ erivable sur R, ϕ l’est aussi. Pour tout r´ eel x, on a : ϕ ′(x) = −f ′(−x)f(x) + f(−x)f ′(x) = −f(−x)f(x) + f(−x)f(x) = 0. Donc ϕ est constante sur R : pour tout x r´ eel, f(−x)f(x) = ϕ(x) = ϕ(0) = f(0) × f(0) = 1. On en d´ eduit alors que f ne s’annule pas sur R. 3. Unicit´ e : Soient f et g deux solutions au probl` eme pos´ e. Montrons que f = g. D’apr` es le point pr´ ec´ edent, on a en particulier f(x)f(−x) = 1 et f(−x) ̸= 0 pour tout x r´ eel. Donc f(x) = g(x) ⇔ f(x)f(−x) = g(x)f(−x) ⇔1 = g(x)f(−x). Montrons donc que la fonction h d´ eﬁnie sur R par h(x) = f(−x)g(x) est constante ´ egale ` a 1. f et g ´ etant d´ erivables sur R, h l’est aussi. Pour tout x r´ eel, h ′(x) = −f ′(−x)g(x)+f(−x)g ′(x) = 0. Donc h est constante sur R. Par cons´ equent, pour tout x r´ eel, h(x) = h(0) = 1, c’est-` a-dire, pour tout x r´ eel, f(−x)g(x) = 1. D’o` u, f = g. La solution est donc unique. D´ eﬁnition 1.3.1. L’unique solution ` a l’´ equation diﬀ´ erentielle y ′ = y et y(0) = 1 est appel´ ee fonction exponentielle. On la note : exp. A l’aide de la m´ ethode d’Euler, on a trouv´ e : exp(k n) ≈(1 + 1 n)k. En particulier, exp(1) ≈ (1 + 1 n)n. D’apr` es les propri´ et´ es de la m´ ethode d’Euler, on a donc : exp(1) = lim n→+∞(1 + 1 n)n 2 Propri´ et´ es de la fonction exponentielle 2.1 Premiers r´ esultats On a d´ ej` a vu que : exp′ = exp; exp(0) = 1, pour tout x r´ eel, exp(x) exp(−x) = 1 et exp x ̸= 0. 2.2 Le nombre e On note e le r´ eel exp(1). On a donc : e = lim n→+∞(1 + 1 n)n. En prenant diﬀ´ erentes valeurs de n, on obtient (par exemple ` a la calculatrice) des valeurs approch´ ees du nombre e. Vous devez savoir que : e ≈2.718281828 2.3 Propri´ et´ es alg´ ebriques Proposition 2.1. 1. Pour tout r´ eel x, exp(−x) = 1 exp(x); 2. Pour tout x et y r´ eels, exp(x + y) = exp(x) × exp(y) (la fonction exponentielle transforme les sommes en produits); 3. Pour tout x et y r´ eels, exp(x −y) = exp(x) exp(y); 4. Pour tout x r´ eel et n entier relatif, exp(nx) = (exp x)n; 5. Pour tout r´ eel x, exp x > 0; 6. Pour tout r´ eel x, exp x 2 = √exp x. D´ emonstration : 1. D´ ej` a d´ emontr´ e. 2. Soit a un r´ eel quelconque. Il suﬃt de montrer que pour tout r´ eel x, exp(x + a) = exp(x) × exp(a), soit d’apr` es la relation 1, que exp(x + a) exp(−x) = exp(a). Soit alors ha la fonction d´ eﬁnie sur R par ha(x) = exp(x + a) exp(−x). La fonction ha est d´ erivable sur R et h ′ a(x) = exp(x+a) exp(−x)−exp(x+a) exp(−x) = 0. Donc ha est constante sur R. Donc pour tout x r´ eel, ha(x) = exp(x + a) exp(−x) = ha(0) = exp(a). 3. Pour tout x et y r´ eels, exp(x −y) = exp(x) × exp(−y) = exp(x) × 1 exp(y) d’apr` es les relations 1 et 2. 4. On montre cette relation par r´ ecurrence sur N. Soit P(n) la propri´ et´ e d´ eﬁnie pour n ∈N par : exp(nx) = (exp x)n. • Initialisation : P(0) est vraie car si n = 0, exp(nx) = exp 0 = 1 et (exp x)n = (exp x)0 = 1 (car exp x ̸= 0). • Hypoth` ese de r´ ecurrence : On suppose que pour un entier naturel n, exp(nx) = (exp x)n. H´ er´ edit´ e : Montrons que exp((n + 1)x) = (exp x)(n + 1). Mme Morel-TS 2 exp((n + 1)x) = exp(nx + x) = exp(nx) × exp(x) d’apr` es la relation 2 = (exp x)n × exp x d’apr` es la relation de r´ ecurrence = e exp x)n+1 La propri´ et´ e P(n + 1) est donc vraie. • P(0) est vraie et P est h´ er´ editaire. Donc d’apr` es l’axiome de la r´ ecurrence, P(n) est vraie pour tout entier naturel n. Reste ` a voir le cas o` u n est n´ egatif. Soit p ∈Z N. On peut alors poser p = −n avec n ∈N. Alors exp(px) = exp(−nx) = 1 exp nx = 1 (exp x)n = (exp x)−n = (exp x)p. 5. Pour tout r´ eel x, exp x = exp( x 2 + x 2 ) = exp( x 2 ) × exp( x 2 ) = (exp( x 2 )2 ⩾0. Or, on ´ e d´ ej` a montr´ e que pour tout r´ eel x, exp x ̸= 0, donc pour tout r´ eel x, exp x > 0. 6. Pour tout x r´ eel, (exp x 2 )2 = exp x d’apr` es la relation pr´ ec´ edente. Donc, puisque exp x > 0 pour tout x r´ eel, exp x 2 = √exp x. 3 Notation d´ eﬁnitive de la fonction exponentielle Si l’on applique les relations pr´ ec´ edentes, on obtient : pour tout n entier relatif, exp n = exp(n × 1) = (exp 1)n = en et exp 1 2 = p exp 1 = √e. La convention : pour tout x r´ eel, exp x = ex prolonge ` a tous les r´ eels l’´ egalit´ e obtenue pour les entiers. Cette notation permet d’´ ecrire des formules conformes ` a l’usage d’une notation puissance : 1. e1 = e; 2. e0 = 1; 3. Pour tout x r´ eel, ex > 0; 4. Pour tout x r´ eel, e−x = 1 ex ; 5. Pour tout x et y r´ eels, ex+y = exey; 6. Pour tout x et y r´ eels, ex−y = ex ey ; 7. Pour tout x r´ eel et n entier relatif, enx = (ex)n; 8. Pour tout x r´ eel, e x 2 = √ ex. 4 Etude de la fonction exponentielle 4.1 Sens de variation 1. La fonction exp est strictement positive sur R. 2. La fonction exp est d´ erivable et donc continue sur R. 3. Pour tout x ∈R, exp ′ x = ex > 0. La fonction exponentielle est donc strictement croissante sur R. Par cons´ equent, pour tous r´ eels x et y, ex < ey ⇔x < y et ex = ey ⇔x = y. 4.2 Approximation aﬃne au voisinage de z´ ero • La fonction exponentielle est d´ erivable en z´ ero et exp ′ 0 = exp 0 = 1. Donc la courbe repr´ esentative C de la fonction exponentielle admet au point A(0; 1) une tangente (T) d’´ equation : y = x + 1. • La fonction aﬃne x 7→x + 1 est donc une approximation aﬃne de la fonction exp au voisinage de z´ ero. • Etude de la position relative de C et (T) ` A savoir faire parfaitement. . . Aﬁn d’´ etudier cette position relative, il faut ´ etudier le signe de d(x) = ex −x −1. La fonction d est d´ erivable sur R et d ′(x) = ex −1. Or, puisque e0 = 1 et que la fonction exp est strictement croissante sur , ex > 1 ⇔x > 0. Donc d ′(x) > 0 pour x > 0 et d ′(x) < 0 pour x < 0. On obtient donc le tableau de variations suivant pour la fonction d : x −∞ 0 +∞ d ′(x) - 0 + d ↘ 0 ↗ La fonction d admettant un minimum sur uploads/s3/ fonction-exponentielle.pdf