G´ en´ eralit´ es sur les fonctions 1` ereS I - Rappels 1) Courbe repr´ esentat

G´ en´ eralit´ es sur les fonctions 1` ereS I - Rappels 1) Courbe repr´ esentative d’une fonction D´ efinition La courbe repr´ esentative d’une fonction f est l’ensemble des points M(x; f(x)), o` u x appartient ` a l’ensemble de d´ efinition de f. x y = f(x) M(x; y) M(x; y) ∈Cf si et seulement si y = f(x) Exemple : Soit la fonction f d´ efinie par l’expression f(x) = 2x −1. Un point M(x; y) est sur Cf si et seulement si y = f(x), c’est-` a-dire si y = 2x −1. Cf est donc la droite d’´ equation y = 2x −1. Exercice 1 Soit f(x) = 2x2 −x + 3 et Cf sa courbe repr´ esentative. 1. Le point A(10; 193) appartient-il ` a Cf ? 2. Le point B(−5; 60) appartient-il ` a Cf ? 3. Quelle est l’ordonn´ ee du point C de Cf d’abscisse 100 ? 4. Quelle est l’abscisse du point D de Cf d’ordonn´ ee 3 ? Exercice 2 Soit les fonctions f et g d´ efinies par les expressions f(x) = x2 −x et g(x) = x −1. D´ eterminer les coordonn´ ees des points d’intersection de Cf et Cg. 2) Ensemble de d´ efinition d’une fonction D´ efinition L’ensemble de d´ efinition Df d’une fonction f est l’ensemble des valeurs de x pour les- quelles f(x) existe. Exemple : Soit la fonction f d´ efinie par l’expression f(x) = 1 2x −3. f(x) existe si et seulement si le d´ enominateur 2x −3 n’est pas nul, soit 2x −3 ̸= 0 ⇐ ⇒x ̸= 3 2. Ainsi, Df = I R \ 3 2  . Exercice 3 D´ eterminer l’ensemble de d´ efinition des fonctions suivantes : f(x) = 5x2 + 3x −2 4x + 5 g(x) = 12x4 −3 2x h(x) = √4x −2 l(x) = p (2x −3)(x + 2) k(x) = 3 √x Y. Morel - xymaths.free.fr/Lycee/1S/ G´ en´ eralit´ es sur les fonctions - 1/6 3) Fonctions usuelles a) Fonctions affines Une fonction affine est une fonction d´ efinie sur I R, et dont l’expression est de la forme f(x) = ax+b, o` u a et b sont deux nombres r´ eels. La courbe repr´ esentative de la fonction affine f(x) = ax + b est la droite d’´ equation y = ax + b. b) Fonction carr´ e La fonction carr´ e est la fonction f d´ efinie sur I R par : f(x) = x2 Tableau de variations x −∞ 0 +∞ f ց ր 0 Tableau de valeurs x −2 −1 0 1 2 f(x) 4 1 0 1 4 0 −2 −1 1 2 1 4 c) Fonction cube La fonction cube est la fonction f d´ efinie pour tout x r´ eel par f(x) = x3 . Tableau de variations x −∞ 0 +∞ ր f 0 ր Tableau de valeurs x −2 −1 0 1 2 f(x) −8 −1 0 1 8 0 −2 −8 −1 −1 1 1 2 8 d) Fonction inverse La fonction inverse est la fonction f d´ efinie sur I R∗par f(x) = 1 x . Tableau de variations x −∞ 0 +∞ f ց ր Tableau de valeurs x −2 -1 -0.5 0 0.5 1 2 f(x) -0.5 -1 -2 0 2 1 8 0 -2 -1 -0.5 1 2 0.5 -2 -1 2 1 e) Fonction racine carr´ ee La fonction racine carr´ ee est la fonction f d´ efinie sur I R+ : f(x) = √x Tableau de variations x 0 +∞ f ր 0 Tableau de valeurs x 0 0.5 1 2 4 9 f(x) 0 ≃0.7 1 2 ≃1, 4 3 0 1 2 3 1 2 4 9 Y. Morel - xymaths.free.fr/Lycee/1S/ G´ en´ eralit´ es sur les fonctions - 2/6 f) Fonction valeur absolue La fonction valeur absolue est la fonction f d´ efinie sur I R par : f(x) = |x| =  x si x ⩾0 −x si x < 0 Par exemple, |5| = 5 ; | −12| = 12 ; |x2| = x2. 0 −2 −1 2 1 1 2 Exercice 4 On consid` ere les fonctions f et g d´ efinies sur [−2; 3] par f(x) = x2 et g(x) = x. 1. Donner le tableau de variation de f et g, et tracer les courbes C et D repr´ esentatives des fonctions f et g. 2. R´ epondre par vrai ou faux, en corrigeant si l’affirmation est fausse : a) Si x > 1, alors f(x) > 2 b) Si −2 ≤x ≤3, alors 4 ≤f(x) ≤9 c) Si x > 2, alors f(x) > g(x) d) Si 0 ≤x ≤1, alors f(x) ≥g(x) e) Si x < 0, alors g(x) > f(x) Exercice 5 On consid` ere les fonctions f et g d´ efinies sur ]0; 2] par f(x) = 1 x et g(x) = 2x −1. 1. Donner le tableau de variation de f et g, et tracer les courbes C et D repr´ esentatives des fonctions f et g. 2. R´ epondre par vrai ou faux, en corrigeant si l’affirmation est fausse : a) Si x > 1, alors f(x) > 1 b) Si x < 1, alors f(x) < 1 c) Si x > 1, alors f(x) > g(x) d) Si 0 < x ≤1, alors f(x) ≥1 e) Si x < 2, alors f(x) > 0, 5 II - Parit´ e d’une fonction D´ efinition Une fonction f est dite paire si pour tout x de son ensemble de d´ efinition, −x est aussi dans son ensemble de d´ efinition, et f(−x) = f(x). Propri´ et´ e La courbe repr´ esentative d’une fonction paire admet l’axe des ordonn´ ees comme axe de sym´ etrie. Cf −x x f(−x) = f(x) Y. Morel - xymaths.free.fr/Lycee/1S/ G´ en´ eralit´ es sur les fonctions - 3/6 D´ efinition Une fonction f est dite impaire si pour tout x de son ensemble de d´ efinition, −x est aussi dans son ensemble de d´ efinition, et f(−x) = −f(x). Propri´ et´ e La courbe repr´ esentative d’une fonction im- paire admet l’origine du rep` ere comme centre de sym´ etrie. Cf −x x f(x) f(−x) = −f(x) Exercice 6 Etudier la parit´ e des fonctions suivantes : a) f(x) = x2 −3 b) f(x) = 2x −1 x c) f(x) = 2x x2 −5 d) f(x) = 1 x + 2 e) f(x) = |x| f) f(x) = √x III - Op´ erations sur les fonctions 1) D´ efinition des op´ erations Soit f et g deux fonctions d´ efinies respectivement sur Df et Dg. On d´ efinit alors : • l’addition de f et du nombre r´ eel λ, h = f + λ par, pour tout x ∈Df, h(x) = f(x) + λ • l’addition de f et g, h = f + g par, pour tout x ∈Df ∪Dg, h(x) = f(x) + g(x) • le produit de f par un nombre r´ eel λ, h = λf par, pour tout x ∈Df, h(x) = λf(x) • le produit de f et g, h = fg par, pour tout x ∈Df ∪Dg, h(x) = f(x)g(x) • l’inverse de f, h = 1 f par, pour tout x ∈Df tel que f(x) ̸= 0, h(x) = 1 f(x) • le quotient de f par g, h = f g par, pour tout x ∈Df ∪Dg tel que g(x) ̸= 0, h(x) = f(x) g(x) • la racine carr´ ee de f, h = √f par, pour tout x ∈Df tel que f(x) ⩾0, h(x) = p f(x) Exemples : Soit h(x) = x2 + 3, alors h est la somme de la fonction carr´ e f(x) = x2 et du nombre r´ eel λ = 3, h = f + 3. Soit h(x) = 4x3 + 2x −1, alors h est la somme des fonctions f(x) = 4x3 et de la fonction affine g(x) = 2x −1. f est de plus le produit de la fonction cube u(x) = x3 par le nombre r´ eel λ = 4. On a donc h = 4u + g. Y. Morel - xymaths.free.fr/Lycee/1S/ G´ en´ eralit´ es sur les fonctions - 4/6 2) Sens de variation Propri´ et´ e • La somme f + λ, o` u λ est un nombre r´ eel, ` a mˆ eme sens de variation que f. • La somme de deux fonctions croissantes (resp. d´ ecroissantes) sur un intervalle I est une fonction croissante (resp. d´ ecroissante). • La fonction λf, o` u λ est un r´ eel non nul, a mˆ eme sens de variation que f si λ est strictement positif, et un sens contraire si λ est strictement n´ egatif. • La fonction 1 f a un sens de variation contraire ` a celui de f. • La fonction √f a mˆ eme sens de variation que f. Remarque : Il n’y a pas de r´ esultat g´ en´ eral uploads/s3/ cours-generalites-fonctions.pdf

Tags
Administrationfonction fonctions alors exercice efinition
Documents similaires
  • 22
  • 0
  • 0
Afficher les détails des licences
Licence et utilisation
Gratuit pour un usage personnel Attribution requise
Partager