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1 EPREUVES 2 3 4 MATHÉMATIQUES 2006 / Nombres complexes, équations différentiel

1 EPREUVES 2 3 4 MATHÉMATIQUES 2006 / Nombres complexes, équations différentielles et jeu de dé 1) a) Résoudre dans l’équation (E) : On désigne par la solution de (E) dont la partie imaginaire est positive et par l’autre solution de (E). b) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal d’unité graphique 2 cm, on considère les points A, B et C d’affixes respectives , et Placer les points A,B et C. Démontrer que le triangle ABC est équilatéral. 2) Résoudre l’équation différentielle : 3) On considère l’équation différentielle : , où a, b et c désignent trois paramètres, éléments de l’ensemble Pour déterminer a, b et c, on lance trois fois de suite un dé cubique parfaitement équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6 et on note à chaque fois le chiffre marqué sur la face supérieure du dé. Le premier numéro sorti donne la valeur de a, le deuxième donne la valeur de b et le troisième, celle de c. a) Justifier que l’équation différentielle : a pour solutions les fonctions de la forme , . où A et B sont des réel si et seulement si est solution dans de l’équation du second degré en z, b) Calculer la probabilité de l’événement : les solutions de sont les fonctions de la forme , . . A et B étant des constantes réelles. 2005 Calcul de et 1) Résoudre dans 2) a) Développer 5 b) Soit l’équation E : En posant, déterminer sous forme algébrique puis sous forme trigonométrique les racines de l’équation E. 3) En déduire les valeurs exactes de et 2004 / Nombres complexes, transformations et suites Soit la suite géométrique de premier terme de raison Soit la suite arithmétique de premier terme et de raison Pour tout entier naturel n, on note le nombre complexe de module et dont un argument est 1) a) Exprimer et en fonction de n. b) En déduire 2) Démontrer que est une suite géométrique de raison et de premier terme 3) Soit (P) le plan complexe rapporté à un repère orthonormé directe et le point d’affixe a) Déterminer la nature de la transformation F qui au point associe le point d’affixe b) Donner ses éléments caractéristiques. 4) pour tout entier naturel n on pose a) Exprimer en fonction de n un argument de . b) Démontrer que si n est impair alors est réel. 2003/ Similitude directe Dans l’ensemble des nombres complexes, on considère l’équation : 1) a) Montrer que admet une solution imaginaire pure et la déterminer. b) Montrer que et sont solutions de . 6 c) Donner l’ensemble des solutions de. 2) Dans le plan rapporté à un repère orthonormal direct Soit les points et d’affixes respectives soit G le barycentre des points et affectés des coefficients respectifs et a) Montrer que les vecteurs et ont pour affixes respectives et et que ces affixes sont, dans cet ordre, en progression géométrique ; déterminer la raison de cette suite. b) En déduire qu’il existe une similitude directe qui transforme en et en . Donner les éléments caractéristiques de cette similitude. 2002/ Equations dans C 1) — a/ Calculer le module et l’argument du nombre complexe : b/ En déduire ses racines carrées 2) —Résoudre dans C l’équation suivante 3) - Soit la solution imaginaire pur et solution, montre que 4) — Dans le plan complexe, rapporté à un repère orthonormal , soit, A, B, C les points d’affines respectives la nature du triangle (ABC) en utilisant 1) a/. 2001 : Nombres complexes et ensemble de points Le plan complexe P est muni d’un repère orthonormal direct Soit f l’application de vers par : a) —Résoudre dans C : . Donner les et solutions et sous forme algébrique puis sous forme trigonometrique b) Calculer 1 /Soit un point de Soit des points tels que soit un imaginaire pur. Donner une équation Cartésienne 7 de . Tracer . 2 / Montrer que équivaut à .. 2000 : Nombres complexes et similitudes Dans l’ensemble C des nombres complexes on considère l’équation 1) a) –Vérifier que admet une solution réelle. b) — Achever la résolution de l’équation 2) - Dans le plan complexe on désigne par les points d’affixes respectifs a) – Déterminer le module et argument de . b) - En déduire la nature du triangle . c) - Donner le centre, le rapport et l’angle de la similitude plane directe qui laisse invariant A et transforme B en C. 2006 : Etude de fonction et calcul d’aire I. On considère la fonction f définie sur par : On note sa courbe représentation dans un repère orthonormé . (Unité : 2 cm). 1) Soit h la fonction définie sur par : a) Etudier les variations de h (on ne déterminera pas de limites aux bornes de ). b) En déduire le signe de sur . 2) a) Etudier les limites de en et b) Préciser la nature de la branche infinie de en c) Calculer , puis interpréter le résultat obtenu. d) Préciser la position de par rapport à la droite 8 3) a) Dresser le tableau de variation de. b) Montrer que f admet une bijection réciproque notée définie sur c) est elle dérivable en 4 ? d) Etudier la position de par rapport à sa tangente au point d’abcisse 2. e) Construire (On tracera la tangente à au point d’abscisse 2. f) Construire courbe de dans le repère précédent. II. Soit un réel strictement positif. est la région du plan délimitée par les droites d’équations respectives et et les courbes d’équations respectives : et . Soit l’aire de en cm² 1) Calculer en fonction de 2) Déterminer .Interpréter graphiquement le résultat obtenu. 2005 : Etude de fonction et bijection PARTIE A Soit f la fonction de la variable réelle x définie par : 1) a) Etudier les variations de f. b) Montrer que Que peut-on en déduire pour la courbe représentative de f ? Tracer cette courbe (Unité : 2 cm). c) Montrer que f réalise une bijection de sur 2) soit g la fonction de la variable réelle x définie par : a) démontrer que g est dérivable sur b) Montrer que quel que soit le réel x, c) Montrer que et d) Etudier les variations de g et tracer sa courbe représentative dans le repère précédent. 9 3) a) Montrer que b) A tout réel , on associe le réel . Justifier l’existence de . Calculer à l’aide d’une intégration par parties. c) Calculer PARTIE B 1) Montrer que g est une bijection de sur un intervalle à préciser. 2) a) Calculer b) Montrer que est dérivable au point . c) Déterminer l’équation de la tangente à au point d’abscisse . 2004 : Etude de fonction et calcul d’aire Soit f la fonction définie par : 1) Déterminer l’ensemble de définition de la fonction et trouver les trois réels a, b et c tels que, pour tout x de , on ait : 2) Déterminer les limites de aux bornes de . 3) a) Déterminer la fonction dérivée de . b) Résoudre dans l’équation : c) En déduire le sens de variation de f et dresser le tableau de variations de f . 4) On appelle la représentation graphique de la fonction dans un plan muni d’un repère orthonormal dont l’unité est 2 cm. Démontrer que les droites d’équations respectives : et sont des asymptotes de respectivement en et en Préciser l’autre asymptote. 10 5) Soit x un réel de , on considère les deux points M et M’ de d’abscisses respectives x et -x, déterminer les coordonnées du milieu de segment . Que peut-on en déduire pour la courbe 6) Tracer la courbe . 7) a) trouver les réels et tels que, pour tout réel x de l’ensemble Df on fait : b) Soit k un réel supérieur ou égal à 2. Déterminer l’aire en cm² de l’ensemble des points du plan dont les coordonnées (x ;y) vérifient : et c) Calculer 2003 : Etude de fonctions A. On considère la fonction : 1) déterminer l’ensemble de définition de ; calculer et 2) Etudier les variations de u. dresser son tableau de variations (il n’est pas nécessaire de calculer la limite de en ) 3) Déduire des résultats précédents que : a) b) B) Soit g la fonction définie par : 1) Déterminer (le domaine de définition de ) ; puis étudier la limite de en . 2) vérifier que Montrer que 11 b) En déduire que Interpréter géométriquement ce résultat. c) Dresser le tableau de variation de g. d) Montrer qu’il existe un réel unique appartenant à tel que Donner un encadrement d’ordre de 3) Tracer la courbe de dans le plan rapporté à un repère orthonormal (unité = cm) C. Soit la fonction définie par 1) Montrer que est dérivable sur et que 2) Déterminer l’aire du domaine plan limité par la courbe ; l’axe des abscisses ; l’axe des ordonnées et la droite d’équation 2001 : Intersection d’une uploads/s3/ mathe-matiques-fastef.pdf