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Cours 16 - Fiches Synthèses SLCI Lycée Bellevue Toulouse - CPGE MP Florestan MA

Cours 16 - Fiches Synthèses SLCI Lycée Bellevue Toulouse - CPGE MP Florestan MATHURIN Page 1 sur 4 Seule la réponse à l’échelon est présentée ici. C’est la seule réponse utile pour le concours. Fiche 03 - Réponse Temporelle Systèmes du 1er Ordre Un système physique d’entrée e(t) et de sortie s(t) est du 1er ordre, s’il est régi par une équation différentielle du 1er ordre à coefficients constants : ) t ( e . K ) t ( s dt ) t ( ds = + τ où : K est le gain statique du système ([unité de sortie]/[unité d’entrée]) τ est la constante de temps (secondes). Si les conditions initiales sont nulles, la fonction de transfert dans le domaine de Laplace s’écrit ) p ( E . K ) p ( S ). 1 p . ( = + τ , soit : p . 1 K ) p ( E ) p ( S ) p ( G τ + = = REPONSE A UN ECHELON L’entrée est définie par un échelon, e(t) = a.u(t), soit dans le domaine de Laplace, E(p)= p a . La sortie a donc pour expression dans le domaine de Laplace : ) p . 1 ( p a . K ) p ( S τ + = La décomposition en éléments simples donne : p . 1 . a . K p a . K p . 1 B p A ) p ( S τ τ τ + − = + + = La réponse temporelle a donc pour expression : ) t ( u . e 1 . a . K ) t ( s t         − = −τ Représentation graphique pour K<1 t e(t) = a.u(t) 0 s(t) K.a τ Tangente à l’origine 3.τ 0,95.K.a 0,63.K.a • Ordonnée en +∞ de la courbe de sortie s(t) : Théorème de la valeur finale a . K ) p ( S . p lim ) t ( s lim ) ( s 0 p t = = = +∞ → ∞ + → → a . K ) ( s = +∞ • Pente à l’origine de la courbe de sortie s(t) : [ ] τ τ a . K ) p . 1 .( p a . K . p lim ) p ( S . p . p lim ) t ( ' s lim ) 0 ( ' s 2 p p 0 t = + = = = ∞ → ∞ → → + + → Pente à l’origine = τ a . K Transformée de la dérivée (CI nulles) Théorème de la valeur initiale • Temps de réponse à 5%, t5% : τ . 3 t % 5 = • Réponse à t = τ : a . K . 63 , 0 ) ( s = τ Cours 16 - Fiches Synthèses SLCI Lycée Bellevue Toulouse - CPGE MP Florestan MATHURIN Page 2 sur 4 (1) unité : [unité de sortie] / [unité d’entrée] (2) z > 0 et sans unité (3) ω0 > 0 en radians/secondes Seule la réponse à l’échelon est présentée ici. C’est la seule réponse utile pour le concours. Fiche 04 - Réponse Temporelle Systèmes du 2nd Ordre Un système physique d’entrée e(t) et de sortie s(t) est du 2nd ordre, s’il est régi par une équation différentielle du 2nd ordre à coefficients constants : ) t ( e . K ) t ( s dt ) t ( ds . z 2 dt ) t ( s d . 1 0 2 2 2 0 = + + ω ω où K = gain statique du système (1) z = coefficient d’amortissement (2). ω0 = pulsation propre non amortie du système (3) Si les conditions initiales sont nulles, la fonction de transfert dans le domaine de Laplace s’écrit ) p ( E . K ) p ( S ). 1 p z . 2 p 1 ( 0 2 2 0 = + + ω ω , soit : 2 0 0 2 2 0 2 2 0 0 p . . z . 2 p K p 1 p z . 2 1 K ) p ( E ) p ( S ) p ( G ω ω ω ω ω + + = + + = = Pôles de la Fonction de Transfert : Le dénominateur 2 0 0 2 p . . z . 2 p ω ω + + de la fonction de transfert peut s’écrire sous la forme ) p p ).( p p ( 2 1 − − . • Cas z > 1 → Δ > 0 ) 1 z ( . . z a . 2 b p p 2 0 0 2 1 − ± − = ∆ ± − = ω ω d’où : 2 0 0 2 p . . z . 2 p ω ω + + =( )( ) 2 1 p p . p p − − avec : 2 pôles réels négatifs Remarque : 2 0 2 1 p . p ω = ) 1 z ( . . z p 2 0 0 1 − + − = ω ω ) 1 z ( . . z p 2 0 0 2 − − − = ω ω Représentation dans le plan complexe : Re Im p1 p2 Quand z→∞, p1→0 Quand z→∞, p2→–∞ Cas particulier : Représentation des pôles correspondant à z infini. • Cas z = 1 → Δ = 0 0 2 1 a . 2 b p p ω − = ∆ ± − = d’où : 2 0 0 2 p . . z . 2 p ω ω + + = 2 1) p p ( − = 2 2) p p ( − avec : 2 pôles réels confondus 0 1 p ω − = 0 2 p ω − = Re Im p2 = p1 • Cas z < 1 → Δ < 0 → on pose ) z 1 .( j . . 4 2 2 2 0 − = ∆ ω ) z 1 ( . . j . z a . 2 b p p 2 0 0 2 1 − ± − = ∆ ± − = ω ω d’où : 2 0 0 2 p . . z . 2 p ω ω + + =( )( ) 2 1 p p . p p − − avec : 2 pôles complexes conjugués ) z 1 ( . . j . z p 2 0 0 1 − + − = ω ω ) z 1 ( . . j . z p 2 0 0 2 − − − = ω ω 0 2 2 2 1 Im Re p p ω = + = = Re p1 pour z=0.7 p2 pour z=0.7 p2 pour z=0 p1 pour z=0 p1 et p2 pour z=1 0 Im Cercle de centre 0 et de rayon ω0 Cours 16 - Fiches Synthèses SLCI Lycée Bellevue Toulouse - CPGE MP Florestan MATHURIN Page 3 sur 4 (4) ce qui est différent du système du 1er ordre !! Réponse à un Echelon : L’entrée est définie par un échelon e(t) = a.u(t), soit dans le domaine de Laplace, E(p) = p a . La sortie a donc pour expression dans le domaine de Laplace : 2 0 0 2 2 0 p . . z . 2 p . K . p a ) p ( S ω ω ω + + = • Pente à l’origine de la courbe de sortie s(t) : La tangente à l’origine est une droite horizontale (4) Théorème de la valeur initiale Transformée de la dérivée (CI nulles) [ ] 0 p . . z . 2 p . K . p a . p lim ) p ( S . p . p lim ) t ( ' s lim ) 0 ( ' s 2 0 0 2 2 0 2 p p 0 t = + + = = = ∞ → ∞ → → + + ω ω ω → Pente à l’origine = 0 • Ordonnée en +∞ de la courbe de sortie s(t) : Théorème de la valeur finale Le régime établi ne dépend que du gain statique K alors que z et ω0 n’interviennent que sur le régime transitoire a . K p . . z . 2 p . a . K lim ) p ( S . p lim ) t ( s lim ) ( s 2 0 0 2 2 0 0 p 0 p t = + + = = = +∞ → → ∞ + → ω ω ω → a . K ) ( s = +∞ Réponse à un échelon pour z > 1 La réponse temporelle s(t) a pour expression : Régime permanent Régime transitoire ) t ( u ). e . p p uploads/s3/ 2-modelisation-temporelle-des-slci-partie2.pdf