CHAPITRE V –DÉTERMINANTS (cours complet) PSI* 21-22 DÉTERMINANTS Dans tout le c

CHAPITRE V –DÉTERMINANTS (cours complet) PSI* 21-22 DÉTERMINANTS Dans tout le chapitre, K désigne R ou C, et 푛désigne un entier naturel non nul. I. Applications p-linéaires Déf 1: Soit 푝∈N∗. Une application p-linéaire sur un K-espace vectoriel 퐸à valeurs dans un K-espacevectoriel 퐹est une application 푓: 퐸푝→퐹telle que : ∀푗∈ 1 ; 푝 , ∀(푎푖)푖∈⟦1;푝⟧−{푗} l’application partielle 푓푗:  퐸 → 퐹 푥 ↦→ 푓(푎1, . . . , 푎푗−1, 푥, 푎푗+1, . . . , 푎푝) est une application linéaire. On notera L푝(퐸, 퐹) l’ensemble des applications p-linéaires de 퐸dans 퐹. Il est facile de vérifier que c’est un sous-espace vectoriel de 풜(퐸푝, 퐹). Déf 2: Une forme p-linéaire sur un K-espace vectoriel 퐸est une application p-linéaire de 퐸푝dans K. L’ensemble L푝(퐸, K) des formes p-linéaires sur 퐸se note simplement L푝(퐸). Exemples 1. Dans un espace préhilbertien 퐸, le produit scalaire est, par définition, une forme bilinéaire. 2. Dans un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3, le produit vectoriel est une application bilinéaire. 3. Si les (휑푖)1⩽푖⩽푝sont des formes linéaires sur 퐸, l’application (푥1, . . . , 푥푝) ↦→휑1(푥1) × . . . × 휑푝(푥푝) est une forme 푝-linéaire sur 퐸. E Rem : Ne pas confondre application p-linéaire sur 퐸et application linéaire sur 퐸푝! Par exemple, si 푓est linéaire de 퐸푝dans 퐹on a 푓(휆푥1, . . . , 휆푥푝) = 푓휆.(푥1, . . . , 푥푝) = 휆푓(푥1, . . . , 푥푝) alors que si 푓est 푝-linéaire, on a 푓(휆푥1, . . . , 휆푥푝) = 휆푝푓(푥1, . . . , 푥푝) Déf 3: Une application 푝-linéaire 푓∈L푝(퐸, 퐹) est dite : • symétrique si, pour tout (푖, 푗) ∈ 1 ; 푝2 avec 푖< 푗, pour tout (푥푖)1⩽푖⩽푝∈퐸푝, 푓(푥1, . . . , 푥푖, . . . , 푥푗, . . . , 푥푝) = 푓(푥1, . . . , 푥푗, . . . , 푥푖, . . . , 푥푝) (c’est-à-dire que la valeur de 푓est inchangée lorsque l’on permute deux arguments). • antisymétrique si, pour tout (푖, 푗) ∈ 1 ; 푝2 avec 푖< 푗, pour tout (푥푖)1⩽푖⩽푝∈퐸푝, 푓(푥1, . . . , 푥푖, . . . , 푥푗, . . . , 푥푝) = −푓(푥1, . . . , 푥푗, . . . , 푥푖, . . . , 푥푝) (c’est-à-dire que la valeur de 푓est transformée en son opposée lorsque l’on permute deux arguments) Prop 1: Si 푓est une application 푝-linéaire antisymétrique alors, pour toute famille (푥푖)1⩽푖⩽푝∈퐸푝, on a : 푓(푥1, . . . , 푥푝) = 0 dès qu’il existe deux indices 푖≠푗tels que 푥푖= 푥푗. Cours PSI* – © T.LEGAY – Lycée d’Arsonval 1/12 26 septembre 2021 CHAPITRE V –DÉTERMINANTS (cours complet) PSI* 21-22  Démonstration: Soit 푓une forme 푝-lin´ eaire antisym´ etrique, et soient 푖, 푗tels que 1 ⩽푖< 푗⩽푛. Alors, pour toute famille (푥푖)1⩽푖⩽푝∈퐸푝: 푓(푥1, . . . , 푥푖 |{z} 푖-` eme place , . . . , 푥푗 |{z} 푗-` eme place , . . . , 푥푛) = −푓(푥1, . . . , 푥푗 |{z} 푖-` eme place , . . . , 푥푖 |{z} 푗-` eme place , . . . , 푥푛). En particulier, si 푥푖= 푥푗on obtient : 푓(푥1, . . . , 푥푖 |{z} 푖-` eme place , . . . , 푥푖 |{z} 푗-` eme place , . . . , 푥푛) = 0, cqfd. Corollaire 1.1: Si 푓est une application 푝-linéaire antisymétrique, alors : 1. (푥1, . . . , 푥푝) liée =⇒푓(푥1, . . . , 푥푝) = 0. 2. On ne change pas la valeur de 푓(푥1, . . . , 푥푝) si on ajoute à un des vecteurs une combinaison linéaire des autres.  Démonstration: 1. Si la famille (푥1, . . . , 푥푝) est li´ ee, un des vecteurs de cette famille est combinaison lin´ eaire des autres. Pour simplifier l’´ ecriture, supposons que c ¸a soit 푥1 : 푥1 = 푝 Í 푖=2 휆푖푥푖. Alors 푓(푥1, . . . , 푥푝) = 푓  푝 Õ 푖=2 휆푖푥푖, 푥2, . . . , 푥푝  = 푝 Õ 푖=2 휆푖푓(푥푖, 푥2, . . . , 푥푝) | {z } =0 car 2 vecteurs ´ egaux et 푓antisym´ etrique = 0 2. Supposons, pour simplifier l’´ ecriture, que l’on ajoute ` a 푥1 un vecteur 푦qui est combinaison lin´ eaire de 푥2, . . . , 푥푝. Alors 푓(푥1 + 푦, 푥2, . . . , 푥푝) = 푓(푥1, . . . , 푥푝) + 푓(푦, 푥2, . . . , 푥푝) = 푓(푥1, . . . , 푥푝) puisque la famille (푦, 푥2, . . . , 푥푝) est li´ ee. II. Déterminant d’un système de vecteurs dans une base  퐸désigne par la suite un K-espace vectoriel de dimension 푛(푛∈N∗).  B = (푒1, . . . , 푒푛) désigne une base de 퐸.  (푣푖)1⩽푖⩽푛désigne une famille de vecteurs de 퐸. Le théorème suivant est admis : Théorème 1: 1. Étant donnée une base B = (푒1, . . . , 푒푛) de 퐸, il existe une et une seule forme 푛-linéaire antisymétrique 휑sur 퐸telle que 휑(푒1, . . . , 푒푛) = 1. Elle s’appelle le déterminant dans la base B et est notée detB : detB :  퐸푛 − → K (푣1, . . . , 푣푛) ↦− → detB(푣1, . . . , 푣푛) 2. Pour toute forme 푛-linéaire antisymétrique 휑sur 퐸, il existe un scalaire 휆tel que 휑= 휆detB (ou, en termes savants, l’ensemble des formes n-linéaires antisymétriques est la droite vectorielle engendrée par detB ).  Démonstration: dans le cas 푛= 3 On suppose 퐸de dimension 3 muni d’une base B = (푒1, 푒2, 푒3). Soient 푣1, 푣2, 푣3 des vecteurs de 퐸et 퐴= (푎푖푗) leur matrice dans la base B (c’est-` a-dire que les (푎푖푗)1⩽푖⩽푗sont les coordonn´ ees dans B de 푣푗). Si 휑est une forme 3-lin´ eaire antisym´ etrique quelconque sur 퐸on a alors, en d´ eveloppant par multilin´ earit´ e : 휑(푣1, 푣2, 푣3) = 휑 3 Í 푖1=1 푎푖11푒푖1 , 3 Í 푖2=1 푎푖22푒푖2 , 3 Í 푖3=1 푎푖33푒푖3 ! = Í (푖1,푖2,푖3)∈⟦1;3⟧3 푎푖11푎푖22푎푖33휑(푒푖1 , 푒푖2 , 푒푖3). Or dans la somme ci-dessus (qui comporte 27 termes), le nombre 휑(푒푖1 , 푒푖2, 푒푖3) est nul d` es que deux des indices 푖푗sont ´ egaux (car 휑antisym´ etrique). Il reste donc : 휑(푣1, 푣2, 푣3) = Í 푖1≠푖2≠푖3 푎푖11푎푖22푎푖33휑(푒푖1 , 푒푖2 , 푒푖3). Il y a exactement 6 triplets (푖1, 푖2, 푖3) ∈{1, 2, 3}3 d’´ el´ ements distincts. De plus, en utilisant l’antisym´ etrie de 휑on a : 휑(푒2, 푒1, 푒3) = 휑(푒3, 푒2, 푒1) = 휑(푒1, 푒3, 푒2) = −휑(푒1, 푒2, 푒3) Cours PSI* – © T.LEGAY – Lycée d’Arsonval 2/12 26 septembre 2021 CHAPITRE V –DÉTERMINANTS (cours complet) PSI* 21-22 et 휑(푒2, 푒3, 푒1) = 휑(푒3, 푒1, 푒2) = +휑(푒1, 푒2, 푒3). Il reste donc 휑(푣1, 푣2, 푣3) = 푎11푎22푎33 + 푎21푎32푎13 + 푎31푎12푎23  −푎21푎12푎33 + 푎31푎22푎13 + 푎11푎32푎23  휑(푒1, 푒2, 푒3). Donc si l’on impose 휑(푒1, 푒2, 푒3) = 1 휑est unique et vaut : detB(푣1, 푣2, 푣3) = (푎11푎22푎33 + 푎21푎32푎13 + 푎31푎12푎23) −(푎21푎12푎33 + 푎31푎22푎13 + 푎11푎32푎23) et pour toute autre forme 3-lin´ eaire antisym´ etrique on a 휑= 휑(푒1, 푒2, 푒3). detB . Remarque : en anticipant un peu sur les d´ efinitions qui vont suivre, on vient ici de d´ emontrer que le d´ eterminant d’une matrice 3 × 3 est donn´ e par : 푎11 푎12 푎13 푎21 푎22 푎23 푎31 푎32 푎33 = (푎11푎22푎33 + 푎21푎32푎13 + 푎31푎12푎23) −(푎21푎12푎33 + 푎31푎22푎13 + 푎11푎32푎23). On en d´ eduit la ≪r` egle de Sarrus ≫(voir d´ etails plus loin). G´ en´ eralisation : Dans le cas d’un espace vectoriel 퐸de dimension 푛∈N∗, si B est une base de 퐸et si (푣1, . . . , 푣푛) est une famille de vecteurs de 퐸dont la matrice dans la base B est 퐴= (푎푖푗) ∈ℳ푛(K), la mˆ eme d´ emonstration permet de montrer que detB(푣1, . . . , 푣푛) est une somme de 푛! termes, tous de la forme ±푎푖11푎푖22 . . . 푎푖푛푛 o` u (푖1, 푖2, . . . , 푖푛) est une permutation de ⟦1 ; 푛⟧, c’est-` a-dire une somme (avec des signes ±) de produits de 푛termes de la matrice, o` u l’on a pris un terme dans chaque colonne avec des indices de lignes 2 ` a 2 distincts. Puisque le déterminant est une forme 푛-linéaire antisymétrique, on en déduit immédiatement les propriétés suivantes (toujours avec les notations précédentes). Propriétés: 1. Pour tout couple d’indices (푖, 푗) ∈⟦1 ; 푛⟧2 avec 푖< 푗, on a detB(푣1, . . . , 푣푖, . . . , 푣푗, . . . , 푣푛) = −detB(푣1, . . . , 푣푗, . . . , 푣푖, . . . , 푣푛). Autrement dit, si l’on échange deux vecteurs dans la famille (푣1, . . . , 푣푛), le déterminant change de signe. 2. Pour tout 휆∈K, detB(휆푣1, . . . , 휆푣푛) = 휆푛detB(푣1, . . . uploads/s3/ 5-determinants.pdf

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Administrationdéterminant alors matrice forme eterminant
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