§ 2 Nombres complexes Ce deuxième paragraphe est une partie consacrée aux fonde

§ 2 Nombres complexes Ce deuxième paragraphe est une partie consacrée aux fondements mathématiques. § 2.1 Le corps des nombres complexes ü Extensions successives Certaines équations à coefficients naturels ont leurs solutions dans  a ε , b ε   x = a + b ε  Par contre, l'ensemble des solutions de l'équation 1 + x = 0 et x ε  est vide. On peut contruire une extension de , appelée ensemble des entiers relatifs et notée , dans laquelle l'équation précédente possède une solution notée x = -1. Les équations suivantes possèdent une solution entière a ε , b ε   x = a −b ε  a ε , b ε   x = a b ε  Par contre, l'ensemble des solutions de l'équation 2 x = 1 et x ε  est vide. On peut construire une extension de , appelée corps des nombres rationnels et notée , dans laquelle l'équa- tion précédente possède une solution notée x = 1 2 . Les équations suivantes possèdent une solution rationnelle a ε , b ε  ∗  x = a b ε  a ε   x = a2 ε  Par contre, l'ensemble des solutions de l'équation x2 = 2 et x ε  est vide. On peut contruire une extension de , appelée corps des nombres réels et notée , dans laquelle l'équation précédente possède deux solutions notées x = ≤ 2 . Par contre, l'ensemble des solutions de l'équation x2 = −1 et x ε  est vide. ü Le problème de l'extension des nombres réels Peut-on contruire une extension de , appelée corps des nombres complexes et notée , dans laquelle l'équation x2 = -1 possède deux solutions notées x = ≤i ? Nous exigeons que les principales règles de calcul relatives aux opérations définies sur les nombres réels soient encore valables pour les nombres complexes. ü Définition d'un corps Un corps est un triplet HK, + , ÿL où K désigne un ensemble de "nombres" muni de deux opérations internes : l'addition notée + et la multiplication notée ÿ; les propriétés suivantes doivent être vérifiées : 2-Nombres_complexes.nb 1 HK, +L est un groupe commutatif x, y ε K  x + y ε K ∀x, y, z ε K Hx + yL + z = x + Hy + zL ∃0 ε K ∀x ε K 0 + x = x + 0 = x ∀x ε K ∃H−xL ε K x + H−xL = 0 ∀x, y ε K x + y = y + x HK*, ÿL est un groupe commutatif où K* = K\80< x, y ε K∗  x ⋅y ε K∗ ∀x, y, z ε K∗ Hx ⋅yL ⋅z = x ⋅Hy ⋅zL ∃1 ε K∗ ∀x ε K∗ 1 ⋅x = x ⋅1 = x ∀x ε K∗ ∃ 1 x ε K∗ x ⋅ 1 x = 1 ∀x, y ε K∗ x ⋅y = y ⋅x Distributivité ∀x, y, z ε K x ⋅Hy + zL = x ⋅y + x ⋅z Exemples H, +, ⋅L est un corps H, +, ⋅L est un corps Contre-exemples H, +, ⋅L n' est pas un corps H, +, ⋅L n' est pas un corps ü Le problème de l'extension des nombres réels On cherche un corps H, +, ÿL tel que 1°  contient  2° les restrictions des opérations + et ÿ de  à  sont les opérations usuelles de  3°  contient un nombre i tel que i2 = -1. ü Construction du corps des nombres complexes L'ensemble  Géométriquement, les réels sont représentés par une droite continue. Selon une idée due à Gauss (1799), prenons pour  l'ensemble des vecteurs du plan  = :Ka bO a ε , b ε > Pour faire en sorte que  Õ , identifions la droite des nombres réels à la première composante Ka 0O = a, en particulier K1 0O = 1 La deuxième composante des nombres complexes est désignée par le facteur de i K0 bO = b i en particulier K0 1O = i L'addition L'addition des nombres complexes coïncide avec l'addition usuelle des vecteurs du plan. 2-Nombres_complexes.nb 2 Ka bO = Ka 0O + K0 bO = a + b i C'est sous la forme z = a + b i, appelée forme cartésienne ou forme algébrique, que l'on représente usuellement les nombres complexes. En d'autres termes  = 8z z = a + b i, a ε , b ε < La première composante est appelée partie réelle, la deuxième partie imaginaire. Les notations correspondantes sont les suivantes. Pour z = a + b i avec a e  et b e , Re HzL = a; Im HzL = b z 1 a  i b i Les nombres réels sont des nombres complexes particuliers caractérisés par z ε  Im HzL = 0 Les nombres de la forme z = b i sont appelés imaginaires purs. Ils sont caractérisés par Re HzL = 0 Remarque La partie imaginaire d'un nombre complexe est un nombre réel : Im H3 + 5 iL ≠5 i mais Im H3 + 5 iL = 5 La règle d'addition des nombres complexes exprime que * la partie réelle de la somme est égale à la somme des parties réelles et * la partie imaginaire de la somme est égale à la somme des parties imaginaires Pour z1 = a1 + b1 i avec a1 e  et b1 œ , z2 = a2 + b2 i avec a2 e  et b2 œ , z1 + z2 = Ha1 + a2L + Hb1 + b2L i (Voir Formulaires et tables). En d'autres termes, pour z1 e  et z2 e , Re Hz1 + z2L = Re Hz1L + Re Hz2L; Im Hz1 + z2L = Im Hz1L + Im Hz2L Multiplication La multiplication de deux nombres complexes est une opération qui, à deux nombres complexes, fait correspondre un nombre complexe. Pour déterminer la multiplication complexe, nous utilisons * d'une part les règles de calcul des corps; 2-Nombres_complexes.nb 3 * d'une part les règles de calcul des corps; * d'autre part, la nouvelle règle que nous voulons obtenir i2 = -1. z1 ⋅z2 = Ha1 + b1 iL ⋅Ha2 + b2 iL = Ia1 a2 + b1 b2 i2M + Ha1 b2 i + b1 a2 iL = Ha1 a2 −b1 b2 L + Ha1 b2 + b1 a2 L i La multiplication des nombres complexes est définie comme suit * la partie réelle du produit est égale au produit des parties réelles moins le produit des parties imaginaires; * la partie imaginaire du produit est égale à la partie réelle du premier multipliée par la partie imaginaire du deuxième plus la partie imaginaire du premier multipliée par la partie réelle du deuxième Pour z1 = a1 + b1 i avec a1 e  et b1 œ , z2 = a2 + b2 i avec a2 e  et b2 œ , z1 ⋅z2 = Ha1 a2 −b1 b2 L + Ha1 b2 + b1 a2 L i (Voir Formulaires et tables). En termes équivalents, pour z1 e  et z2 e , Re Hz1 ⋅z2L = Re Hz1L Re Hz2L −Im Hz1L Im Hz2L; Im Hz1 ⋅z2L = Re Hz1L Im Hz2L + Im Hz1L Re Hz2L La multiplication de deux nombres complexes se distingue * du produit scalaire (le produit scalaire de deux vecteurs du plan donne un nombre réel); * du produit vectoriel (le produit vectoriel de deux vecteurs de l'espace donne un vecteur de l'espace). C'est cette multiplication qui fait tout l'intérêt des nombres complexes. H, +, ÿL est un corps L'élément neutre pour la somme est 0 + 0 i = 0. L'élément neutre pour la multiplication est 1 + 0 i = 1. Montrons que chaque nombre complexe non nul z possède un inverse 1 z tel que z ÿ 1 z = 1. Soit z = a + b i avec a ε  , b ε  et Ha, bL ≠H0, 0L. Alors 1 z = 1 a + b i = Ha −b iL Ha + b iL Ha −b iL = a −b i a2 + b2 + 0 i = a a2 + b2 + H−bL a2 + b2 i Re 1 z = a a2 + b2 Im 1 z = −b a2 + b2 Les autres propriétés des corps se démontrent aisément. Nous en vérifierons quelques unes dans les exercices. H, +, ÿL est une extension de  Pour des nombres complexes qui sont réels, * l'addition complexe et l'addition réelle coïncident et * la multiplication complexe et la multiplication réelle coïncident. En effet, Ha + 0 iL + Hb + 0 iL = Ha + bL + H0 + 0L i = a + b + 0 i = a + b Ha + 0 iL ⋅Hb + 0 iL = uploads/s3/ 2-complexes.pdf

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