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Mécanique des milieux continus Algèbre tensorielle A. Mikdam ENSAM - Casablanca

Mécanique des milieux continus Algèbre tensorielle A. Mikdam ENSAM - Casablanca 1 Algèbre tensorielle 1. Espace : En se place dans un espace euclidien 3 E (espace vectoriel muni d’un produit scalaire) muni d’une base orthonormée :   1 2 3 , , B e e e  On choisit un point O comme origine pour former un repère :   1 2 3 , , , R O e e e  2. Notation d’Einstein : On allège considérablement les écritures si on adopte la convention suivante, appelée convention de notation d’Einstein ou convention de l’indice muet : si un indice apparaît deux fois dans un même terme, on lui fera prendre les valeurs 1, 2 et 3 et on somme. Par exemple, si l’on rencontre le terme i i ab dans une équation, il faut comprendre : 3 1 1 2 2 3 3 1 i i i i i a b a b a b a b a b       Par conséquent, on aura : i i j j k k ab a b a b   Ce qui explique pourquoi cet indice est nommé indice muet : la lettre le représentant n’a aucune importance. Dans les cas où on ne voudrait pas sommer sur l’indice, on le souligne : i i j j k k a b a b a b   3. Vecteurs : Pour exprimer un vecteur U dont les coordonnées sont   1 2 3 , , U U U dans la base   1 2 3 , , B e e e  , on peut l’écrire sous la forme : i i U U e  Le produit scalaire de deux vecteurs U et V va s’écrire : . i i U V U V  4. Tenseurs : En algèbre linéaire, un tenseur d’ordre 2 est une forme bilinéaire de 3 3 E E  dans l’espace réels. Il fait correspondre à deux vecteurs quelconques un nombre réel. Un tenseur de second ordre est noté T . Lorsqu’on l’applique à deux vecteurs U et V , on obtient le scalaire noté   , T U V . Dans la base   1 2 3 , , B e e e  , un tenseur peut être représenté par une matrice 3x3 de la manière suivante : 11 12 13 21 22 23 31 32 33 T T T T T T T T T T           Mécanique des milieux continus Algèbre tensorielle A. Mikdam ENSAM - Casablanca 2 Le résultat de T appliqué à U et V s’écrit :   1 11 1 1 12 2 1 13 3 2 21 1 2 22 2 2 23 3 3 31 1 3 32 2 3 33 3 , . p pq q T U V U TV U T V U T V U T V U T V U T V U T V U T V U T V U T V U T V            Le tenseur d’ordre 2 est une forme bilinéaire, mais aussi une application linéaire de 3 E dans 3 E , c'est-à-dire qu’à tout vecteur U il peut faire correspondre un vecteur V tel que : V T U  i ij j V T U  Le produit contracté de deux tenseurs du second ordre A et B (noté A B ) est un tenseur de second ordre tel que : T AB  ij ip pj T A B  On notera T T le tenseur transposé de T , c'est-à-dire le tenseur tel que :     , , T p pq q T U V T V U V T U   Un tenseur sera appelé tenseur symétrique si T T T  . Dans ce cas, sa matrice sera également symétrique ij ji T T  . Un tenseur égal à l’opposé de son transposé sera appelé antisymétrique, et sa matrice vérifiera ij ji T T  . Tout tenseur T peut être décomposé de manière unique en la somme de deux tenseurs dont l’un est symétrique et l’autre antisymétrique. On note :     1 1 ; ; 2 2 S A S T A T T T T T T T T T T       Le tenseur inverse du tenseur T est noté 1 T . La matrice de 1 T  est la matrice inverse de la matrice T . On appelle tenseur identité I le tenseur du second ordre associé à l’application linéaire identité de 3 E dans 3 E . Sa matrice I s’écrit : Un tenseur est un objet mathématique qui ne dépend pas de la base choisie pour le problème. On retrouve le même raisonnement pour un vecteur : il est le même quelle que soit la base d’étude, mais ses coordonnées sont différentes dans chaque base. On peut généraliser le concept de tenseur à des ordres différents de 2. Un tenseur d’ordre n sera une forme n- linéaire de   3 3 3 E E n fois E    dans l’ensemble des réels. 1 0 0 0 1 0 0 0 1 I           uploads/s3/ notions-analyse-tensorielle.pdf