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CAHIER D’ENSEIGNANT Module de mathématiques Projet d’Appui à une meilleure inté

CAHIER D’ENSEIGNANT Module de mathématiques Projet d’Appui à une meilleure intégration des femmes au sein de la Police Nationale d’Haïti (PAMIF-PNH). Mars- Avril 2021 1 | P a g e 2 | P a g e CHAPITRE I 1. Analyse combinatoire En mathématique, combinatoire est aussi appelée Analyse combinatoire, branche des mathématiques dont le but est de dénombrer les dispositions que l‟on peut former à l‟aide des éléments d‟un ensemble fini. En mathématiques, le dénombrement est la détermination du nombre d‟un ensemble. Il s‟obtient en général par un comptage ou par un calcul de son cardinal à l‟aide de techniques combinatoire. 1.1.Disposition On appelle disposition, toute suite d‟élément choisis parmi les éléments d‟un ensemble fini. En analyse combinatoire, il est important de distinguer deux (2) principes fondamentaux. 1.2.Les principes fondamentaux de l’analyse combinatoire Principe de multiplication ou principe multiplicatif ou produit cartésien. Permet de compter le nombre de résultats expériences qui peuvent se recomposer en une succession de sous-expression Principe; on suppose qu‟une expérience est la succession de m sous-expressions. Si la nième expérience a ni résultats possibles pour i= 1;2 ;…;n, alors le nombre total de résultats possibles de l‟expérience globale est : N= n1 xn2 x... xnm Exemple ; vous achetez une valise à code 4 chiffres. Combien de possibilités avez-vous de choisi un code ? Pour choisir le premier chiffre du code, il y a 10 choix (car il y a 10 chiffres ;0,1,2,3,…,9).Donc n1=10 Pour le second chiffre il y a encore 10 choix. Donc, N= n1 xn2 xn3 xn4=10 x10 x 10x 10 1.3. Le principe d’addition 3 | P a g e Si une première opération peut être effectuée de n1 maniéré différentes, si une deuxième opération peut être effectuée en n2, une troisième de n3 maniérés différentes et ainsi de suite jusqu‟à une k-ieme opérations qui peut être effectuée de nk manières différentes, alors le nombre de manières d‟effectuer l‟une ou l‟autre de ces opérations est donnée par ; N= n1+n2+n3+...+nk Exemple ; Dans un lycée, il y a 3 professeurs de mathématiques Hommes et 5 professeurs de mathématique femmes. Combien y a-t-il de possibilités d‟avoir un professeur de mathématiques ? L‟évènement A= le prof de maths est un Homme - Existe a= 3 possibilités L‟évènement B=le prof de maths est une femme - Existe avec b=5 possibilités On constate que ces deux évènement A et B ne peuvent pas exister simultanément. Donc, le total des possibilités N est la somme des possibilités de chaque évènement ; N= a+b => N=3+5 => N=8 possibilités 1.4.Quelques notions importantes 1.4.1. Anagramme Une anagramme d‟un mot est un autre mot obtenu du premier par permutation de ses lettres. Ou encore, un mot obtenu à partir des lettres d‟un autre mot assemblé dans un ordre différent. NB ; On compte parmi l‟anagramme d‟un mot, ce mot lui-même. Si un mot est composé de n lettres différentes, il possède évidemment n! Anagramme. (le nombre de permutation de ses lettres). 1.4.1.1. Anagramme discernable Deux anagrammes d‟un même mot qu‟on peut différencier l‟une de l‟autre sont dites discernables. 1.5. Arrangement Étant donné un ensemble fini F de n éléments, on appelle arrangement de ces n objets p à p toute bijection de l‟ensemble E= {1, 2…,p} dans F. Autrement dit, on désigne dans F un premier élément puis un deuxième, et un p-IVème. ( )( )( ) ( ) ( ) 4 | P a g e Comme ; n!=n(n-1)(n-2)…(n-p+1)(n-p)! Donc ; ( ) avec p≤n Cette formule est applicable quand il n‟y a pas de répétition 1.5.1. Arrangement avec répétition D‟une manière générale si un ensemble E comporte n éléments, le nombre d‟arrangement de ces n éléments de E pris p à p distincts ou non : np Exemple ; on considère ensemble E={a,b,c} 1) Former tous les arrangements de deux éléments distincts de E. 2) Former tous les arrangements de deux éléments distincts ou non de E. 1.6. Permutation d’élément distinct Soit un ensemble formé de n éléments distincts. On appelle permutation toute disposition ordonnée sans répétitions de n éléments distincts. A noter que deux permutations ne différent que par ordre selon lequel les éléments sont placées, puis que toutes les permutations d‟un même ensemble contiennent les même éléments. En effet, une permutation est un arrangement de n éléments distincts choisis parmi n. Ainsi le nombre total de permutations de n éléments, est donné par ; ( ) (Permutation sans répétition). 1.7. Permutations d’éléments non tous distincts Étant donné un ensemble de n éléments ayant n1 éléments identiques d‟une sorte, n2 éléments identiques d‟une autre sorte, n3 éléments identiques d‟une troisième sorte et ainsi de suite jusqu‟à nk éléments identiques d‟une autre sorte, alors le nombre de permutations de ces n éléments est donné par : (permutation avec répétition) 1.2. Échantillonnage  Échantillonnage non exhaustifs (avec remise) 5 | P a g e Pour tirer un échantillonnage de taille p on a : n = np (on a p facteurs)  Échantillonnage exhaustifs (sans remise) On ne remet pas dans l‟une (la boule), la boule qui vient d‟être extrait, avant de tirer une nouvelle boule. Pas de répétition on a ainsi : n x(n-1) x(n-2) x...x(n-p+1)= 1.3. Combinaison : Considérons un ensemble formé de n éléments distincts  On appelle combinaison de p éléments distincts choisis parmi n, toute disposition non ordonnée de p éléments de l‟ensemble.  On appelle combinaison de n objets pris p à p ou combinaison de p objets, un sous-ensemble quelconque de p objets parmi les n donnés, en ne tenant pas compte de l‟ordre. Théorème : ( ) or ( ) ( ) Combinaison avec répétition 1.10.1. Combinaison avec répétition Dans un ensemble à n éléments distincts. Supposons qu‟on intéresse aux dispositions non ordonnées de p éléments en admettant la répétition. Dans ce contexte, il est clair que p pourrait grand que n. Ainsi : ( ) ( ) Propriétés  Pour tout entier naturels n et p tels que p<n on a : (à dénombrer)  Pour tout entiers naturels n et p tels que p<n, on : (à dénombrer)  a) b) (à dénombrer) Pour gagner de la place et du temps 6 | P a g e ; c‟est le produit de p entiers consécutifs décroissant à partir de n. P≥0 , n≥0 et p≤n p : indique le nombre de facteurs n : le plus grand des facteurs Exemple : =7 x6 x5 => =210 ; ici on a 3 facteurs dont le plus grand est 7 =20x 19 => =380 ; on a deux facteurs dont le plus grand est 20 Dans P : c‟est le plus grand facteur au dénominateur n ; c‟est le plus grand des facteurs aux numérateur ( )( ) ( ) ( ) ( ) Exemple ; => ; =120 NB : En écrivant n=(n-p)+p, on obtient l‟importante formule suivante ; EXERCICE 1) Combien d‟anagramme du mot ENTRETENIR peut-on former ? Du mot PULSION ? Réponse : 75600, 5040 anagrammes 2) Combien y a-t-il d‟anagramme du mot PULSION ? Dans combien de ces anagrammes les voyelles sont-elles ensembles ? Rép : 5040, 720 anagrammes 7 | P a g e 3) Combien de mots de quatre lettres distincts peut-on former avec les lettres du mot MULTIPARE si les deux premières lettres du mot doivent être des consonnes et les deux dernières lettres des voyelles ? Rép : 240 4) Supposons qu‟une plaque d‟immatriculation contient deux lettres distinctes suivies de trois chiffres dont le premier est différent de zéro. Combien de plaques d‟immatriculation différentes peut-on imprimer ? Rép : 585000 plaques différentes 5) Combien de manières peur-on tirer l‟une après l‟autre, trois cartes d‟un jeu de 52 cartes. a) le tirage étant non exhaustif b) le tirage étant exhaustif Rép : a) 140 608 b) 132 600 6) Le patron d‟un bureau de comptable doit repartir ses employés pour le travail d‟aujourd‟hui. Quatre d„entre eux doivent travailler au dossier A, trois d‟entre eux doivent travailler au dossier B, deux d‟entre eux au dossier C et deux autres au dossier D. De combien de manières le patron peut-il repartir ses employés ? Rép : 69 300 7) Les plaques minéralogiques aux USA sont formées de trois (3) lettres, suivies de trois (3) chiffres. a) Quel est le nombre de plaques minéralogiques possibles ? b) Quel est le nombre de plaques qui commencent par la lettre u ? 8) Une femme a dans sa garde-robe 4 Jupes, 5 Chemisiers et 3 vestes. Elle choisit au hasard une Jupe, un chemisier et une veste. De combien de façons différentes peut-elle s‟habiller ? Rép ; 60 façons 8 | P a g e 9) Combien peut-on former de nombres de 4 chiffres différents qui ne contiennent pas le chiffre 5 ? Rép:2688 nombres 10) En supposant qu‟il n‟y a pas de répétitions : a) Combien de nombres de 3 chiffres peut-on former à l‟aide des six(6) chiffres 2, 3,5,6,7 et 9 b) Combien de ces nombres son inférieurs à 400 ? c) Combien sont pairs ? d) uploads/s3/ a-module-mathematique-cahier-d-x27-enseignant.pdf