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Agrégation externe de mathématiques Rapport du jury pour la session 2008 3.2 Co

Agrégation externe de mathématiques Rapport du jury pour la session 2008 3.2 Corrigé I. - Sous-groupes ﬁnis de GLn(Z) 1. Il s’agit d’un résultat classique : montrons le par récurrence sur le degré n ∈N∗du polynôme P. Pour n = 1, P est de la forme X + a0, MP = (−a0) et CMP (X ) = |X + a0| = X + a0 = P. Pour n Ê 2, supposons avoir établi le résultat au rang n −1. Un polynôme P à coefﬁcients complexes unitaire de degré n est de la forme P = X n + an−1X n−1 +...+ a1X + a0 = XQ + a0, où Q = X n−1 + an−1X n−2 +...+ a2X + a1. Or, CMP (X ) = det(X In −MP) = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ X 0 ... ... ... 0 a0 −1 X 0 ... ... 0 a1 0 −1 X 0 ... 0 a2 . . . ... ... ... ... . . . . . . 0 ... 0 −1 X 0 an−3 0 ... ... 0 −1 X an−2 0 ... ... ... 0 −1 X + an−1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ . En développant ce déterminant par rapport à la première ligne, il vient : CMP (X ) = X det(X In−1 −MQ)+ a0(−1)n+1(−1)n−1 = XCMQ(X )+ a0. Or, par hypothèse de récurrence, CMQ(X ) = Q ; d’où CMP (X ) = XQ + a0 = P. Par conséquent, pour tout polynôme P à coefﬁcients complexes unitaire de degré n, le polynôme caractéristique de la matrice compagnon qui lui est associée est le polynôme P lui-même. 2. (a) Soit M ∈GL2(Z) d’ordre ﬁni m ∈N∗. Le complexe z étant racine de CM(X ) est valeur propre de la matrice M, donc racine de tout polynôme annulateur de M. La matrice M étant d’ordre m, le polynôme X m −1 est annulateur pour M, donc z est racine de ce polynôme. (b) Le nombre de polynômes cyclotomiques de degré 1 est égal au nombre de solutions de l’équa- tion ϕ(k) = 1 d’inconnue k ∈N∗. Soit p un nombre premier et r un entier strictement positif tel que ϕ(pr ) É 1. On obtient donc pr−1(p −1) É 1. On en déduit que p −1 É 1 donc p est égal à 2. Si p = 2 on a alors r É 1 (la fonction r →2r−1 est strictement croissante sur N∗). Donc une solution k n’admet comme facteur premier que le nombre 2 avec exposant inférieur ou égal à 1. L’équation n’admet donc que deux solutions, k = 1 ou k = 2. Il y a donc exactement deux polynômes cyclotomiques de degré 1, les polynômes Φ1(X ) = X −1 et Φ2(X ) = X +1. (c) Le nombre de polynômes cyclotomiques de degré 2 est égal au nombre de solutions de l’équa- tion ϕ(k) = 2 d’inconnue k ∈N∗. Soit p un nombre premier et r un entier strictement positif tel que ϕ(pr ) É 2. On obtient donc pr−1(p −1) É 2. Par conséquent, p −1 É 2. Si p = 2 on a r = 1 ou r = 2, et si p = 3 alors r = 1. Donc le nombre k n’admet dans sa décomposition en facteurs irréductibles que les nombres premiers 2 avec ex- posant possible inférieur à 2 et 3 avec exposant possible inférieur à 1. On obtient alors aisément ϕ(k) = 2 si et seulement si k = 3,4 ou 6. Par conséquent les polynômes cyclotomiques de degré 2 sont Φ3(X ) = (X −j)(X −j 2) = X 2 + X +1, Φ4(X ) = (X −i)(X +i) = X 2 +1 et Φ6(X ) = (X + j)(X + j 2) = X 2 −X +1. (d) Soit P un facteur irréductible dans Q[X ] de CM(X ). D’après la question (a), toute racine com- plexe z de P est racine de CM(X ), donc de X m −1 : c’est donc une racine m-ième de l’unité. Comme P est scindé sur C, il divise donc X m −1 dans C[X ], mais aussi dans Q[X ]. Par unicité de la décomposition du polynôme X m −1 en produit de polynômes irréductibles dans Q[X ], et connaissant la décomposition X m −1 = Y d|m Φd(X ), P est nécessairement un polynôme cycloto- mique. page 22 Agrégation externe de mathématiques Rapport du jury pour la session 2008 CM(X ) étant unitaire, c’est donc un produit de polynômes cyclotomiques. Comme il est de degré 2, on déduit, d’après les questions (b) et (c), que : • ou bien c’est un polynôme cyclotomique de degré 2, c’est-à -dire : Φ3,Φ4 ou Φ6 ; • ou bien c’est le produit de deux polynômes cyclotomiques de degré 1, c’est-à-dire : Φ2 1,Φ1Φ2 ou Φ2 2. Ainsi, CM(X ) est l’un des six polynômes unitaires suivant : X 2+X +1, X 2+1, X 2−X +1, (X −1)2, (X −1)(X +1) ou (X +1)2. (e) La matrice M est d’ordre m, donc admet le polynôme X m −1 comme polynôme annulateur. Ce polynôme étant scindé à racines simples dans C, la matrice M est diagonalisable dans C. Son ordre est donc le PPCM des ordres de ses valeurs propres (vues comme éléments du goupe (C∗,∗)). Si CM(X ) = Φ4(X ), les valeurs propres de M sont i et −i donc m = 4. Dans tous les autres cas, les valeurs propres sont des racines sixièmes de l’unité, donc m est un diviseur de 6, d’où le résultat. (f) M = µ 0 −1 1 1 ¶ appartient à GL2(Z) car det(M) = 1. De plus, CM(X ) = X 2 −X +1 (c’est une matrice compagnon), donc M est diagonalisable dans C avec deux valeurs propres qui sont des racines primitives sixième de l’unité, donc M est d’ordre 6. 3. (a) • Mm = In donc, par application de la formule du binôme de Newton (valide ici puisque N permute avec In), il vient : In = m X k=0 µ m k ¶ prkN k = In +mpr N + p2r m X k=2 µ m k ¶ p(k−2)r N k. Ainsi : mpr N = p2r A, avec A = − m X k=2 µ m k ¶ p(k−2)r N k ∈Mn(Z) ; d’où mpr N ∈p2r Mn(Z). • Par conséquent mN appartient à pr Mn(Z) et, comme r ∈N∗, p divise chaque coefﬁcient de la matrice mN. Or, comme N appartient à Mn(Z)\pMn(Z), il existe un coefﬁcient ni,j de N que p ne divise pas. Comme p est premier et qu’il divise mni,j, il divise m ou ni,j : donc nécessairement p divise m. (b) Par une nouvelle application de la formule du binôme, M′ = M p = (In + pr N)p = In + pr p X k=1 µ p k ¶ pr(k−1)N k = In + pr (pN + pr p X k=2 µ p k ¶ pr(k−2)N k) = In + pr+1N ′, en posant N ′ = N + pr−1 p X k=2 µ p k ¶ pr(k−2)N k. On a N ∈Mn(Z)\pMn(Z). Montrons que pr−1 p X k=2 µ p k ¶ pr(k−2)N k ∈pMn(Z). En effet, • Si k = p, l’entier µ p k ¶ pr(k−2) devient pr(p−2) divisible par p car p Ê 3 (c’est ici que l’on utilise l’hypothèse p ̸= 2). • Si k ∈{2,...,p −1} le coefﬁcient binômial µ p k ¶ est divisible par le nombre premier p. Dans tous les cas les entiers µ p k ¶ pr(k−2) qui apparaissent dans la déﬁnition de N ′ sont divisibles par p, donc pr−1 p X k=2 µ p k ¶ pr(k−2)N k ∈pMn(Z) et l’on déduit N ′ ∈Mn(Z)\pMn(Z). Ainsi M′ = In + pr+1N ′, avec r +1 ∈N∗et N ′ ∈Mn(Z)\pMn(Z), M′ est d’ordre m′ (puisque M′ = M p et que M est d’ordre pm′) et m′ Ê 2 car N ′ ̸= 0 ; donc, par le même raisonnement qu’à la question (a), on obtient que p divise m′. page 23 Agrégation externe de mathématiques Rapport du jury pour la session 2008 (c) Si les hypothèses faites au début de la question 3 étaient valides, en réitérant le processus pré- cédent k fois, on obtiendrait que m s’écrive sous la forme m = pkmk, avec mk ∈N∗(mk ̸= 0 car m ̸= 0), d’où m Ê pk Ê 3k pour tout k ∈N. Ceci est bien sûr impossible puisque la suite (3k) di- verge vers +∞. Par conséquent, aucune matrice M ∈GLn(Z) d’ordre m Ê 2 ne peut s’écrire sous la forme énon- cée au début de la question 3 pour aucun nombre premier p Ê 3. Autrement dit, toute matrice M ∈GLn(Z) d’ordre m Ê 2 est de la forme M = In + N, uploads/s3/ agreg-2008-maths-gene-corrige.pdf