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Table des mati`eres 1 Int[Pleaseinsertintopreamble]grales doubles et triples 3

Table des mati`eres 1 Int[Pleaseinsertintopreamble]grales doubles et triples 3 1.1 Int´egrales doubles : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Interpr´etation g´eom´etrique de l’int´egrale double . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.3 Propri´et´es des int´egrales doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.4 Th´eor`eme de Fubini sur un rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.5 Th´eor`eme de Fubini sur un domaine quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.6 Changement de variables dans une int´egrale double : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2 Int´egrales triples : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1 Chapitre 1 Int´egrales doubles et triples 3 1.1 Int´egrales doubles : 1.1.1 D´efinition Soit D ⊂R2 un ensemble born´e et P un pavage de D donc D = ∪n i=1Ki. Soit f une fonction d´efinie sur D, on appelle somme de Riemann associ´ee `a f et `a P, tout r´eel s de la forme : s =Xn i=1 f(xi, yi)Ai, o`u Ai est l’aire de Ki, (xi, yi) est un point de Ki. Si lim n→+∞s existe, on dira alors que f est int´egrable sur D, et on ´ecrit : Z Z D f(x, y)dxdy = lim n→+∞Xn i=1 f(xi, yi)Ai Proposition 1.1 Toute fonction continue et born´ee sur D, domaine born´e de R2est int´egrable sur D. 1.1.2 Interpr´etation g´eom´etrique de l’int´egrale double Corollaire 1.2 1) RRDf(x, y)dxdy = Volume ”alg´ebrique” sous le graphe de f. 2) RRD|f(x, y)|dxdy = Volume sous le graphe de f. 1.1.3 Propri´et´es des int´egrales doubles 1) Pour tout λ, µ ∈R, on a : Z Z D (λf + µg)(x, y)dx dy = λ Z Z D f(x, y)dx dy + µ Z Z D g(x, y)dx dy 2) Si D = D1 ∪ D2 et D1 ∩ D2 est une courbe ou point ou vide, alors : Z Z D f(x, y)dx dy = Z Z D1 f(x, y)dx dy + Z Z D2 f(x, y)dx dy 3) Z ZDf(x, y)dx dy ≤Z ZD|f(x, y)| dx dy 4) Si f(x, y) ≤ g(x, y) pour tout (x, y) ∈ D, alors Z Z D f(x, y)dx dy ≤ Z Z D g(x, y)dx dy 1.1.4 Th´eor`eme de Fubini sur un rectangle Th´eor`eme 1.1 Soit f une fonction continue sur un rectangle D = [a, b] × [c, d], on a : Z Z D f(x, y)dx dy = Z b a Z d c f(x, y)dy dx = Z d c Z b a f(x, y)dx dy Exemple 1.1 Calculer les int´egrales suivantes : Z Z Z Z 1 I1 = (1 + x + 2y)2dx dy Solution : sin(x + y)dx dy; I2 = [0,π/2]×[0,π/2] [0,1]×[1,2] I1 = Z Z [0,π/2]×[0,π/2] sin(x + y)dx dy = Z π/2 0 Z π/2 0 sin(x + y)dx ! dy Z π/2 = [−cos(x + y)]π/2 0dy 0 = − Z π/2 0 (cos(π/2 + y) −cos y) dy = −[sin(π/2 + y) −sin y]π/2 0 = 2. Z 1 I2 = Z 2 1 (1 + x + 2y)2dy dx 0 1 1 2 1 = − 1 2Z 1 0 1 + x + 2y 1 dx = − 1 2Z 1 0 x + 5−1 x + 3 = − 1 2[ln(x + 5) −ln(x + 3)]1 0 = − 1 2(ln 6 −ln 4 −(ln 5 −ln 3)) = 1 2ln 10. Remarque 1.1 Si f(x, y) = g(x) × h(y), alors : Z Z [a,b]×[c,d] f(x, y)dx dy = Z b a g(x)dx × Z d c h(y)dy Exemple 1.2Z Z [0,1]×[0,2] x2y32dx dy = Z 1 0 x2dx × Z 2 0 y3 2dy = 2/3 1.1.5 Th´eor`eme de Fubini sur un domaine quelconque Lemma 1.3 Soit D ⊂R2 un ensemble born´e quelconque. 1. Pour tout (x; y) ∈ D il existe a; b ∈R tels que a ≤ x ≤ b. 2. Pour tout x ∈[a, b], il existe c(x); d(x) ∈R tels que c(x) ≤ y ≤ d(x). Au final : D = (x, y) ∈R2/x ∈[a, b]; y ∈ [c(x), d(x)] Th´eor`eme de Fubini sur D : Soit f : D −→ R une fonction continue, alors : Z Z f(x, y)dx dy = D Alternative : Z b a Z d(x) c(x) f(x, y)dy ! dx. D = (x, y) ∈R2/y ∈[c, d]; x ∈[a(y), b(y)] Th´eor`eme de Fubini sur D : Z Z D Exemple 1.3 f(x, y)dx dy = Z d c Z b(y) a(y) f(x, y)dx ! dy. Solution : I = Z 1 0 Z 1−x x−1 (x + 2y)dy dx. Exemple 1.4 Solution : Lorsque y est compris entre 0 et 1, le nombre x varie de 2y −2 `a 2 − y. Donc : I = Z 1 0 Z 2−y 2y−2 xydx dy. 1.1.6 Changement de variables dans une int´egrale double : Nous avons un r´esultat analogue `a celui de l’int´egrale simple, o`u le changement de variables x = ϕ(t) nous demandait de remplacer le dx par ϕ0(t)dt . C’est le Jacobien qui va jouer le rˆole de la d´eriv´ee : Rappel : On appelle la matrice jacobienne de ϕ : Rn −→Rp, la matrice `a p lignes et n colonnes : La premi`ere colonne contient les d´eriv´ees partielles des coordonn´ees de ϕ par rapport `a la premi`ere variable x1, la deuxi`eme colonne contient les d´eriv´ees partielles des coordonn´ees de ϕ par rapport `a la deuxi`eme variable x2 et ainsi de suite. Th´eor`eme 1.2 Soit (u, v) ∈∆7→(x, y) = ϕ(u, v) ∈D une bijection de classe C1 du domaine ∆au domaine D. Soit |detJϕ| la valeur absolue du d´eterminant de la matrice jacobienne de ϕ. Alors, nous avons : Exemple 1.5 Calculer I =RRD(x −1)2dxdy sur le domaine D = (x, y) ∈R2: −1 ≤ x + y ≤1; −2 ≤ x − y ≤2 En effectuant le changement de variable u = x + y; v = x − y. Solution : Le domaine D en (u, v) est donc le rectangle : {−1 ≤ u ≤1; −2 ≤ v ≤2} . On a aussi x =u + v 2, y =u − v 2. Le jacobien de ce changement de variables est : J = ∂x ∂u ∂y ∂u ∂x ∂v ∂y ∂v   = 1 2 1 2 1 2 −1 2  Dont le d´eterminant vaut −1/2. Et donc : I = 1 8Z 2 −2 Z 1 −1 (u + v −2)2du dv = 1363 Changement de variables en coordonn´ees polaires : Soit ϕ : R2 −→R2telle que (r, θ =) 7→(r cos θ, r sin θ). Alors ϕ est de classe C1sur R2, et son jacobien vaut : Jϕ(r, θ) = cos θ − r sin θ sin θ r cos θ = r Exemple 1.6 Exemple 1.7 Calculons l’aire du parabolo¨ıde Le moment d’inertie : Le moment d’inertie d’une plaque de m´etal qui occupe une r´egion D et dont la densit´e est donn´ee par ρ(x, y) par rapport `a 1) l’axe (X’OX) est :Ix =RRDy2ρ(x, y)dx dy. 2) l’axe (Y’OY) est :Iy =RRDx2ρ(x, y)dx dy 3) l’origine est :IO =RRD(x2 + y2)ρ(x, y)dx dy. 1.2 Int´egrales triples : uploads/s3/ analyse-3.pdf