École Supérieure des Sciences Appliquées d’Alger. Introduction aux EDP Nassim S

École Supérieure des Sciences Appliquées d’Alger. Introduction aux EDP Nassim SIAD (n.siad@g.essa-alger.dz) 29/07/2020 Contents 1 Dé…nitions générales 2 1.1 EDP linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Classi…cation des EDP linéaires d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . 3 I EDP linéaire d’ordre 1 4 2 L’équation de transport 4 2.1 Rappel sur l’intégration des champs de vecteurs . . . . . . . . . . 5 2.2 Méthode de résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.3 Méthode des charactéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.4 Facteur intégrant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.4.1 Comment trouver le facteur intégrant . . . . . . . . . . . 10 II EDP linéaire d’ordre 2 11 3 L’équation de la chaleur 11 3.1 Conditions initiales/ Conditions aux bords . . . . . . . . . . . . . 13 3.2 L’équation de la chaleur avec conditions initiales et aux bords de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.2.1 Résolution du problème avec conditions aux bords ho- mogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.3 L’équation de la chaleur avec conditions initiales et aux bords de Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 4 EDP hyperbolique: l’équation d’onde 17 4.1 Résolution par séparation des variables . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 5 EDP elliptique: L’opérateur de Laplace 19 5.1 Conditions aux bords . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 5.2 Principe du maximum pour les fonctions harmoniques . . . . . . 21 5.3 Propriété de la moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 5.4 Problème de Dirichlet sur un rectangle avec conditions homogènes 21 5.5 Problème de Dirichlet sur un disque . . . . . . . . . . . . . . . . 23 5.6 Résolution du problème de Dirichlet sur le disque . . . . . . . . . 25 III Exercices 27 1 Dé…nitions générales Dé…nition 1 Une équation aux dérivées partielles (EDP) est une équation in- cluant une fonction u : D  R2; R3 ! R ainsi que ses dérivées partielles F(u; @u @x; @u @y ; @u @z ; @2u @x2 ; @2u @y@x; @2u @z@x:::: @Nu @xi@yj@zk ; x; y; z) = 0 (E) pour une certaine fonction F: L’entier N est l’ordre de (E), c’est le plus grand nombre de dérivations sur u. Exemple 1 @u @t + u: @u @x = 0 est une EDP d’ordre 1. Exemple 2 L’équation de Laplace:4u = @2u @x2 + @2u @y2 + @2u @z2 = 0 est d’ordre 2. 1.1 EDP linéaire Dé…nition 2 L’EDP (E) sera dite linéaire si on peut l’écrire sous la forme Lu = f (EL) où f(x; y; z) est une fonction donnée et L est un opérateur di¤érentiel linéaire L(a:u + b:v) = a:Lu + b:Lv; a; b 2 R (1) L’équation linéaire (EL) sera dite homogène lorsque f = 0 et inhomogène sinon. Exemple 3 L’opérateur de l’exemple 1 n’est pas linéaire L(u + v) 6= Lu + Lv: Exemple 4 L’opérateur de Laplace 4 est linéaire 4(a:u+b:v) = a:4u+b:4v; les EDP des exemples 3 et 4 sont linéaires, la première est homogène, la seconde inohomogène. On veut décrire l’espace des solutions (S) d’une EDP linéaire Lu = f; (ELI) on distingue le cas homogène du cas inhomogène: 2 1. Solution homogène: on considère l’équation homogène Lu = 0 (ELH) si u1; u2 sont deux solutions, alors leur combinaison linaire est aussi une solution:8 ; 2 R : L( :u1 + :u2) = :Lu1 + :Lu2 = 0 c’est "le principe de superposition", ou encore: l’espace des solutions de (ELH) est un espace vectoriel (Sh). 2. Le cas inhomogène: si on connait une solution particulière u0 de (ELI) l’espace des solutions est (S) = u0 + (Sh) en e¤et, soit uh 2 (Sh) : L(u0 + uh) = Lu0 + Luh = f + 0 = f; d’où u0 + (Sh)  (S); d’autre part toute solution v 2 (S) : L(v u0) = Lv Lu0 = f f = 0; d’où v u0 2 (Sh): En d’autres termes l’espace des solutions de (ELI) est l’espace a¢ne (S) = u0 + (Sh): 1.2 Classi…cation des EDP linéaires d’ordre 2 Une EDP linéaire d’ordre 2 est une EDP linéaire Lu = f où L est une fonction linéaire du vecteur (u; @u @x; @u @y ; @u @z ; @2u @x2 ; @2u @y@x; @2u @z@x; :::; @2u @z2 ); en dimension 2, ça donne Lu = a11 @2u @x2 + a12 @2u @y@x + a21 @2u @x@y + a22 @2u @y2 + @u @x + @u @y + c:u où aij; ; ; c sont des fonctions; on peut toujours supposer que a12 = a21: Dé…nition 3 La nature d’une EDP linéaire d’ordre 2 au point (x; y) est la nature de la forme quadratique Q(X; Y ) = a11(x; y):X2 + 2:a12(x; y):XY + a22(x; y):Y 2 (Q) On dira qu’elle est: 1. Elliptique: si par un changement de variables on peut la réduire à X2+Y 2; 2. Hyperbolique: si par un changement de variables on peut la réduire à X2 Y 2; 3. Parabolique:si par un changement de variables on peut la on peut la ré- duire à X2; ou Y 2; Remarque 1 Toute forme quadratique Q(X; Y ) se ramène à l’équation d’une des formes quadratiques précédantes par la réduction de Gauss. 3 Si on note A = a11 a12 a21 a22  ; 0 @ a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 1 A ; A est symétrique, ses valeurs propres sont réelles, les trois possibilités précédantes correspondent aux cas suiv- ants: 1. Elliptique: si A a toutes ses valeurs propres non nulles de même signe, 2. Hyperbolique: si A a toutes ses valeurs propres non nulles dont une de signe contraire aux autres, 3. Parabolique: si A a 0 pour valeur propre, les autres sont de même signe. Exemple 5 L’équation de Laplace a pour forme quadratique Q(x; y; z) = x2 + y2 + z2 elle est elliptique. Exemple 6 L’équation des ondes @2u @t2 = c2: n @2u @x2 + @2u @y2 o a pour forme quadra- tique Q(t; x; y) = t2 (cx)2 (cy)2 = t2 X2 Y 2; elle est hyperbolique. Exemple 7 L’équation de la chaleur @u @t (t; x) = : @2u @x2 (t; x) a pour forme quadra- tique Q(t; x) = v:x2; elle est parabolique. Pour résoudre une EDP, il su¢t de comprendre le modèle physique. Part I EDP linéaire d’ordre 1 2 L’équation de transport Considérons l’EDP linéaire d’ordre 1, qu’on appelle équation de transport a(x; y):@u @x + b(x; y):@u @y = 0 (ET) le but est de trouver la fonction u (x; y) étant donnée a et b. Considerons le champ de vecteur ~ F (x; y) = (a(x; y); b(x; y)), l’équation (ET) équivaut à dire ~ F:ru = (a; b) :  @u @x @u @y  = 0 ce qui revient à dire que ru =  @u @x; @u @y  est parallèlle au champ normal ~ N (x; y) = (b(x; y); a(x; y)), ceci est équivalent à dire que c: ~ N = ru 4 pour une fonction c (x; y). Trouver u revient à trouver le potentiel du champ de vecteurs (P (x; y) ; Q (x; y)) = c (x; y) : (b(x; y); a(x; y)). On peut montrer par la méthode des charactéristiques que l’équation de transport (ET) équivaut à résoudre l’équation di¤érentielle b (x; y) : dx +a (x; y) : dy = 0 2.1 Rappel sur l’intégration des champs uploads/s3/ applications-aux-edp-essa-alger.pdf

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