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Introduction au Calcul Différentiel et Intégral (avec des problèmes resolus) ©A

Introduction au Calcul Différentiel et Intégral (avec des problèmes resolus) ©ARIAN NOVRUZI Department of Mathematics and Statistics University of Ottawa November 25, 2019 Contents 1 Revision des concepts de base 6 1.1 Notations et quelques résultas élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1 Nombres, intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 Fonctions, domaine de déﬁnition, image et graphe de fonctions . . . . . . . 7 1.1.3 Opérations avec les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.4 Équations, inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.5 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 Examples de fonctions: leurs propriétés et graphes . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.1 Fonctions élémentaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.2 Puissances et racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.3 Valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2.4 Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.2.5 Fonctions rationnelles et algèbriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.2.6 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.3 Modélisation. Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.3.1 Quelques notions et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.3.2 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 Limite, continuité. Applications 26 2.1 Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.1.1 Quelques déﬁnitions et résultats élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.1.2 Assymptôtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.1.3 Limites de forme indéterminée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.1.4 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.2.1 Notations and quelques propriétés simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2.2 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.3 Applications de la limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.3.1 Séries géometriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.3.1.1 Notations, déﬁnitions et résultats élémentaires . . . . . . . . . . 42 2.3.1.2 Séries de paiement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.3.1.3 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.3.2 Composition de l’intérêt et nombre e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.3.2.1 Composition de l’intérêt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.3.2.2 Nombre e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.3.2.3 Composition continue de l’intérêt . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.3.3 Fonctions exponentielle et logarithmique. Propriétés élémentaires . . . . . 49 2.3.3.1 La fonction exponentielle et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.3.3.2 La fonction logarithmique ln x . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.3.3.3 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2 3 Calcul différentiel. Applications 58 3.1 La dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.1.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.1.2 Quelques déﬁnitions et résultats élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.1.3 Dérivée et continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.1.4 Une première application: équation de la droite tangente . . . . . . . . . . 63 3.1.5 Règles de dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.1.6 Dérivation implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.1.7 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.2 Autres applications de la dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.2.1 Applications kinématiques: vitesse, accélération . . . . . . . . . . . . . . uploads/s3/ my-mat1700-course.pdf