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Lycée Al Kadi Ayad Salé 2éme BAC PC Matière : Mathématiques 2020/2021 Professeu

Lycée Al Kadi Ayad Salé 2éme BAC PC Matière : Mathématiques 2020/2021 Professeur : Yahya MATIOUI www.etude-generale.com Devoir Maison N3 Exercice 1 (Les nombres complexes) 1. Résoudre dans l’ensemble C des nombres complexes l’équation : z2 − √ 2z + 1 = 0. 2. On pose : a = √ 2 2 + √ 2 2 i a) Ecrire a sous la forme trigonométrique et en déduire que a2020 est un nombre réel. b) Déduire les entiers naturels n tels que : an ∈R. c) Soit le nombre complexe b = cos π 8 + i sin π 8. Montrer que : b2 = a. 3. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O, − → u , − → v ), on considère les points A, B et C d’aﬃxes respectives a, b et c tels que : c = 1. La rotation R de centre O et d’angle π 8 transforme le point M d’aﬃxe z au point M ′ d’aﬃxe z′. a) Vériﬁer que : z′ = bz. b) Déterminer l’image de C par la rotation R et montrer que A est l’image de B par R. 4. a) Montrer que : |a −b| = |b −c| et en déduire la nature du triangle ABC. b) Déterminer une mesure de l’angle ( \ − → BA, − − → BC). 5. Soit T la translation de vecteur − → u et D l’image de A par T. a) Vériﬁer que l’aﬃxe de D est b2 + 1. b) Montrer que : b2+1 b = b + b et en déduire que les points O , B et D sont alignés. Exercice 2 Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O, − → u , − → v ). On note A, B et I les points du plan d’aﬃxes respectives zA = 1+i √ 3 , zB = 2i et zI = 1 2+i √ 3+2 2 . 1. a) Mettre les nombres complexes zA et zB sous la forme exponentielle. b) Vériﬁer que A et B sont deux points du cercle (C) de centre O et de rayon 2. c) Vériﬁer que I est le milieu du segment [AB] . d) Construire de manière rigoureuse le cercle (C) ainsi que les points A,B et I. 2. a) Justiﬁer que la demi-droite [OI) est la bissectrice de l’angle [ AOB. b) Vériﬁer que : (− → OA, − − → OB) ≡π 6 [2π] . c) Montrer que : (− → u , − → OI) ≡5π 12 [2π] . 1 d) En déduire que : zI = p 2 + √ 3ei 5π 12 . 3. Donner alors les valeurs exactes de cos( 5π 12) et sin( 5π 12). Exercice 3 (Equations diff´ erentielles) Partie N1 On considère l’équation diﬀérentielle (E) : y′ + y = 2e−x. dans laquelle y désigne une fonction inconnue de la variable réelle x, dérivable sur R. 1. Résoudre l’équation diﬀérentielle (E′) : y′ + y = 0. 2. Soit la fonction g déﬁnie sur R par : g(x) = 2xe−x. Vériﬁer que g est solution de l’équation (E). 3. On admet que toute solution h de (E) s’écrit sous la forme f + g ou f désigne une solution de l’équation (E′) et g est la fonction ci-dessus. a) Déterminer la forme des solutions de l’équation (E). b) Déterminer la solution h de l’équation (E) vériﬁant la condition initiale : h(0) = −1. Partie N2 On considère l’équation diﬀérentielle (E) : y′′ −3y′ + 2y = −1 −2x. dans laquelle y désigne une fonction inconnue de la variable réelle x, déﬁnie et deux fois dérivable sur R. y′ la fonction dérivée de y et y′′ sa fonction dérivée seconde. 1) Déterminer les solutions de l’équation diﬀérentielle (E′) : y′′ −3y′ + 2y = 0. 2) Déterminer les constantes réelles a et b pour que la fonction g déﬁnie sur R par : g(x) = ax + b soit une solution particulière de l’équation (E). 3) En déduire l’ensemble des solutions de l’équation diﬀérentielle (E). (Indication : utiliser la consigne de la question 3 partie N1) 4) Déterminer la solution f de (E) qui vériﬁe les conditions initiales : f(0) = 0 et f ′(0) = 2. FIN www.etude −generale.com Pr : Yahya MATIOUI 2 uploads/s3/ devoir-maison-n3-2emebac-s2.pdf