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Lycée JEAN ROSTAND Mathématiques Term Limite de Suites Année 2021-2022 Sujet d’

Lycée JEAN ROSTAND Mathématiques Term Limite de Suites Année 2021-2022 Sujet d’entrainement Exercice 1 : Étudier, pour chacun des cas suivants, la limite éventuelle de la suite (un) en justiﬁant votre réponse. 1. Il s’agit d’une forme indéterminée ³∞ ∞ ´ , donc il faut appliquer la (seule et unique) méthode : factoriser par le terme de plus haut degré. 2n +3 3n −1 = n µ 2+ 3 n ¶ n µ 3−1 n ¶ = 2+ 3 n 3−1 n . Or, lim n→+∞2+ 3 n = 2, et lim n→+∞3−1 n = 3, donc par quotient on en déduit que lim n→+∞un = 2 3. 2. C’est toujours une forme indéterminée, donc même principe qu’avant, mais cette fois, il va falloir exception- nellement développer le dénominateur. n2 +1 2(n +3)2 = n2 +1 2n2 +12n +18 = n2 µ 1+ 1 n2 ¶ n2 µ 2+ 12 n + 18 n2 ¶ = 1+ 1 n2 2+ 12 n + 18 n2 Or, lim n→+∞1+ 1 n2 = 1, et lim n→+∞2+ 12 n + 18 n2 = 2, donc par quotient on en déduit que lim n→+∞un = 1 2. 3. Il s’agit évidemment toujours de la même forme indéterminée... Même peine, même punition! 4n −3 5n +1 = 4n µ 1−3 4n ¶ 5n µ 1+ 1 5n ¶ = µ4 5 ¶n × 1−3 4n 1+ 1 5n Par quotient, on a lim n→+∞1−3 4n = 1 et lim n→+∞1+ 1 5n = 1. De plus, comme −1 < 4 5 < 1, on sait que lim n→+∞ µ4 5 ¶n = 0. Par produit, on en déduit donc que lim n→+∞ 4n −3 5n +1 = 0. 4. On sait que −1 ⩽(−1)n ⩽1, donc 1 ⩽2+(−1)n ⩽3, d’où : 1 5n ⩽un ⩽3 5n Or, lim n→+∞ 1 5n = 0, et lim n→+∞ 3 5n = 0, donc d’après le théorème d’encadrement on en déduit que lim n→+∞un = 0. 5. On sait que −1 ⩽cos(n) ⩽1, donc n ⩽un ⩽n +2. En particulier, on a donc un ⩾n, or lim n→+∞n = +∞, donc par croissance comparée, on en déduit que : lim n→+∞un = +∞. Mathématiques 1/3 Exercice 2 : On considère la suite (un) déﬁnie par u1 = 1 et pour tout entier naturel n non nul par un+1 = n n +2un 1. a) Déterminer les valeurs de u2 et u3 sous forme de fraction. Il sufﬁt d’appliquer la relation de récurrence (sans se tromper sur la valeur de n). u2 = 1 1+2 ×u1 = 1 3 ×1 = 1 3 u3 = 2 2+2 ×u2 = 2 4 × 1 3 = 2 12 = 1 6 b) À l’aide de votre calculatrice, conjecturer le sens de variation et la limite de cette suite. Cette suite semble décroissante et converge vers 0. 2. a) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n non nul, 0 ⩽un ⩽1 n . Initialisation : Pour n = 1, on a u1 = 1, donc 0 ⩽u1 ⩽1 1. La propriété est bien initialisée. Hérédité : Supposons que la propriété soit vraie pour un rang n donné, et montrons qu’elle est encore vraie pour le rang n +1. On sait donc que 0 ⩽un ⩽1 n donc 0 = n n +2 ×0 ⩽ n n +2un ⩽1 n × n n +2 = 1 n +2 On en déduit donc que 0 ⩽un+1 ⩽ 1 n +2 ⩽ 1 n +1. La propriété est bien initialisée et héréditaire, donc elle est vraie pour tout entier naturel n non nul. b) En déduire la limite de la suite (un). On a montré que pour tout entier naturel n non nul, on a 0 ⩽un ⩽1 n . Or, on sait que lim n→+∞ 1 n = 0, donc d’après le théorème d’encadrement, on peut en déduire que lim n→+∞un = 0. 3. a) Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n non nul, un = 2 n(n +1). Initialisation : Pour n = 1, on a u1 = 1, et 2 1(1+1) = 2 2 = 1. La propriété est bien initialisée. Hérédité : Supposons que la propriété soit vraie pour un rang n donné, et montrons qu’elle est encore vraie pour le rang n +1. Par déﬁnition, on a un+1 = n n +2un = n n +2 × 2 n(n +1) = 2 (n +1)(n +2) On obtient bien le résultat voulu! La propriété est bien initialisée et héréditaire, donc elle est vraie pour tout entier naturel n non nul. b) Déterminer le sens de variation de la suite (un). Comme pour le premier devoir, il est possible d’utiliser la méthode de son choix. Donc cette fois, je vais opter pour l’étude de fonction. Mathématiques Limite de Suites 2/3 On considère la fonction f déﬁnie sur ]0;+∞[ par f (x) = 2 x(x +1) = 22 x2 + x . Pour étudier cette fonction, on va commencer par calculer sa dérivée. f ′(x) = u′ · v −u · v′ v2 = 0×(x2 + x)−2×2x +1 (x2 + x)2 = −4x −2 (x2 + x)2 Comme x est positif, on en déduit que −4x−2 < 0 et donc f ′(x) < 0 pour tout réel x positif. Cela permet d’en déduire que la fonction f est décroissante sur ]0;+∞[, et donc que la suite (un) est également décroissante. Exercice 3 : On considère la suite (un) déﬁnie par u0 = 1 et pour tout entier naturel n par un+1 = 2un −n +1 1. a) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, on a un ⩾n. Initialisation : Pour n = 0, on a u0 = 0 ⩾0. La propriété est bien initialisée. Hérédité : Supposons que la propriété soit vraie pour un rang n donné, et montrons qu’elle est encore vraie pour le rang n +1. On sait que un ⩾n donc 2un ⩾2n et 2un −n +1 ⩾2n −n +1 = n +1. On a bien le résultat voulu. La propriété est bien initialisée et héréditaire, donc elle est vraie pour tout entier naturel n. b) En déduire la limite de la suite (un). On vient de montrer que un ⩾n pour tout entier naturel n. Or, on sait que lim n→+∞n = +∞, donc d’après le théorème de comparaison, on en déduit que lim n→+∞un = +∞ 2. On considère le programme ci-dessous : u = 1 n = 0 while u < 10000 : u = 2∗u −n +1 n = n +1 print(n) Expliquer en quelques mots à quoi sert ce programme. Ce programme permet de calculer les valeurs successifs de la suite (un) et va afﬁcher à la ﬁn la première valeur de n pour laquelle un ⩾10000. 3. On considère la suite (vn) déﬁnie pour tout entier naturel n par vn = un −n. a) Montrer que (vn) est une suite géométrique dont on précisera la raison. Il fallait bien avoir une question de ce type à un moment... vn+1 = un+1 −(n +1) = 2un −n +1−n −1 = 2un −2n = 2(un −n) = 2vn Donc la suite (vn) est bien géométrique de raison 2. b) Exprimer vn en fonction de n pour tout entier naturel n. On sait que la suite (vn) est géométrique de raison 2 et de premier terme v0 = u0 −0 = 1, donc d’après le cours, on a vn = v0 × qn = 1×2n = 2n. c) En déduire que pour tout entier naturel n, un = 2n +n. Par déﬁnition, on a vn = un −n donc un = vn +n = 2n +n. Mathématiques Limite de Suites 3/3 uploads/s3/ cor-ex-limsuite.pdf