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CONCOURS GÉNÉRAL DES LYCÉES SUJET y Session de 201 2 COMPOSITION DE MATHÉMATIQU

CONCOURS GÉNÉRAL DES LYCÉES SUJET y Session de 201 2 COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES Classes de terminale S freemaths . fr Concours Général des lycées, Mathématiques, S y 201 2 www . freemaths . fr CONCOURS GÉNÉRAL DES LYCÉES SESSION DE 2012 COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Classe terminale S) DURÉE : 5 HEURES La calculatrice est autorisée conformément à la réglementation. La clarté et la précision de la rédaction seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Le sujet comporte trois problèmes indépendants. Le candidat peut traiter les questions dans l’ordre de son choix, à condition de l’indiquer clairement dans la copie. Problème 1 Les premiers sont les derniers Pour tout entier n ⩾2, on dispose de la décomposition en facteurs premiers n = pa1 1 pa2 2 · · · pak k où p1, p2, . . . pk, qu’on suppose distincts, sont les diviseurs premiers de n, et où les exposants a1, a2, . . . , ak sont des entiers strictement positifs. On pose alors f(n) = a p1 1 a p2 2 · · · a pk k . Par exemple, si n = 720 = 243251, on a f(n) = 422315 = 128. En posant de plus f(1) = 1, on obtient une fonction f de N∗dans N∗. Enﬁn, pour tous entiers n ⩾1 et i ⩾0, on note f 0(n) = n et f i+1(n) = f( f i(n)) . Par exemple : f 0(720) = 720, f 1(720) = f(720) = 128, f 2(720) = f(128) = 49 Le but de ce problème est d’étudier le comportement de la fonction f et des suites ( f i(n))i∈N pour n ﬁxé. 1°) (a) Calculer f(2012). (b) Déterminer les nombres f i(3636) pour 0 ⩽i ⩽3. Que peut-on dire des suivants ? 2°) (a) Donner un exemple d’entier n ⩾1 tel que, pour tout entier naturel i, on ait f i+2(n) = f i(n) et f i+1(n) , f i(n) . (b) Montrer que la fonction f n’est ni croissante ni décroissante. 3°) Résoudre : (a) l’équation f(n) = 1 ; (b) l’équation f(n) = 2 ; (c) l’équation f(n) = 4. 4°) (a) Pour tous entiers a ⩾2 et b ⩾0, montrer que ab ⩽ab. (b) Soit k ∈N∗et soit a1, . . . , ak, b1, . . . , bk des entiers tels que ai ⩾2 et bi ⩾0 pour tout i. Montrer que a1b1 + a2b2 + · · · + akbk ⩽ab1 1 ab2 2 · · · abk k . (c) Pour tout n ∈N∗, montrer que f(f(n)) ⩽n. (d) Soit n ∈N∗. Montrer qu’il existe un entier naturel r que, pour tout entier i ⩾r, on ait f i+2(n) = f i(n). 5°) Soit E l’ensemble des entiers n ⩾2 n’ayant que des exposants strictement supérieurs à 1 dans leur décomposition en facteurs premiers. (a) Montrer que, pour tout entier a ⩾2, il existe des entiers naturels α et β tels que a = 2α + 3β. (b) En déduire que si n appartient à E, alors il existe un élément m de E tel que f(m) = n. (c) Donner un élément m de E tel que f(m) = 20122012. (d) Que peut-on dire de la réciproque du (b) ? 1 Problème 2 Une suite majoritairement décroissante Soit (un)n⩾0 une suite de nombres réels positifs telle que u0 = 1 et telle que, pour tout entier n ⩾1, au moins la moitié des termes u0, u1, . . . , un−1 soient supérieurs ou égaux à 2un . Montrer que un tend vers 0. Problème 3 Le facteur sonne toujours une fois (et une seule) Un facteur doit distribuer le courrier dans une rue. Celle-ci ne comporte qu’une seule rangée de maisons régulièrement espacées et numérotées 1, 2, . . . , n, où n est un entier supérieur ou égal à 2. Le facteur doit distribuer une lettre par maison. Pour cela, il laisse son vélo à la maison 1, y dépose le courrier correspondant, et ensuite distribue les lettres au hasard, puis revient à la maison 1 récupérer son vélo. Il eﬀectue ainsi un trajet, représenté par les numéros successifs des maisons où il a déposé le courrier. Par exemple, si n = 5, un trajet possible est 1, 5, 2, 4, 3, 1. La distance totale parcourue, appelée longueur du trajet, vaut 12 dans ce cas car |5 −1| + |2 −5| + |4 −2| + |3 −4| + |1 −3| = 12. Un autre trajet possible est 1, 3, 5, 4, 2, 1, de longueur 8. 1°) Combien y a-t-il de trajets possibles ? 2°) (a) Montrer que tout trajet est de longueur supérieure ou égale à 2(n −1). (b) Combien y a-t-il de trajets de longueur minimale ? 3°) (a) Dans les cas n = 5 et n = 6, déterminer la longueur maximale d’un trajet et donner un exemple de trajet de longueur maximale. (b) Pour n quelconque, déterminer la longueur maximale d’un trajet. 4°) On tire un trajet au hasard (tous les trajets sont équiprobables). Quelle est l’espérance de la longueur du trajet ? 2 uploads/s3/ concours-general-mathematiques-2012-sujet.pdf