MAT404 - Ann´ ee universitaire 2016-2017 Math´ ematiques Dur´ ee : une heure Au

MAT404 - Ann´ ee universitaire 2016-2017 Math´ ematiques Dur´ ee : une heure Aucun document autoris´ e Corrig´ e du Contrˆ ole Continu no 2 - 17/03/2017 Exercice 1. Les fonctions suivantes sont-elles des formes bilin´ eaires ? Sont-elles sym´ etriques ? 1. φ : R2 × R2 →R, φ x1 x2  , y1 y2  = x1y2 + x2y2. 2. φ : C2 × C2 →C, φ x1 x2  , y1 y2  = ix1y2 + ix2x1. 3. φ : C([0, 1], C) × C([0, 1], C) →C, φ(f, g) = Z 1 0 f(x)g(1 −x) dx. Corrig´ e de l’Exercice 1. Voir TD. Exercice 2. 1. On consid` ere la forme bilin´ eaire suivante 1 φ : R3 × R3 →R, φ     x1 x2 x3  ,   y1 y2 y3    = x1y2 + 2x2y1 + x2y3 + 5x3y2. Calculer la matrice de φ dans la base canonique de R3, donner son rang et calculer son noyau. 2. On consid` ere la forme bilin´ eaire sym´ etrique suivante 2 φ : R2[X] × R2[X] →R, φ(P, Q) = Z 1 −1 P(x)Q(−x) dx. D´ eterminer l’orthogonal pour φ du sous-espace vectoriel W de R2[X] d´ efini par W = Vect(X), et en donner une base et la dimension. Corrig´ e de l’Exercice 2. 1. On trouve par des calculs directs que la matrice M de φ dans la base canonique de R3 est donn´ ee par M =   0 1 0 2 0 1 0 5 0  . 1. On admet qu’il s’agit bien d’une forme bilin´ eaire. 2. On admet qu’il s’agit bien d’une forme bilin´ eaire sym´ etrique. 1 Puisque la troisi` eme colonne est ´ egale ` a deux fois la premi` ere, le rang de M est inf´ erieur ou ´ egal ` a deux. Et puisque les deux premiers vecteurs sont lin´ eairement ind´ ependants, on en d´ eduit que le rang de M est ´ egal ` a deux. Calculons le noyau de M : le vecteur X =   x1 x2 x3  appartient au noyau si et seulement si MX = 0, soit      x2 = 0 2x1 + x3 = 0 5x2 = 0 ce qui aboutit ` a X = x1   1 0 −2  . Ainsi KerM est de dimension un (ce que l’on savait d´ ej` a d’apr` es le th´ eor` eme du rang) et c’est la droite vectorielle engendr´ ee par   1 0 −2  . 2. On a par d´ efinition W ⊥φ = {P ∈R2[X]; φ(P, w) = 0, ∀w ∈W} . Puisque W = Vect(X), on en d´ eduit que P = a + bX + cX2 appartient ` a W ⊥φ si et seulement si Z 1 −1 (a + bx + cx2)(−x) dx = 0 soit, en utilisant le fait que les int´ egrales de monˆ omes de degr´ e impair sont nulles : b = 0. Ainsi P = a + cX2 et on conclut que W ⊥φ = Vect(1, X2) est de dimension deux. Exercice 3. 1. Soit M ∈Mn(R). Montrer que M s’´ ecrit de fa¸ con unique comme la somme d’une matrice M1 sym´ etrique et d’une matrice M2 antisym´ etrique 3. Indication : on pourra ´ ecrire tM en fonction de M1 et M2. 2. Soit φ : Rn × Rn →R une forme bilin´ eaire. Montrer que φ s’´ ecrit de fa¸ con unique comme somme d’une forme bilin´ eaire φ1 symm´ etrique et d’une forme bilin´ eaire φ2 antisym´ etrique 4 Corrig´ e de l’Exercice 3. 1. Supposons qu’il existe M1 et M2 respectivement sym´ etrique et antisym´ etrique telles que M = M1 + M2. Alors n´ ecessairement, tM =t M1 +t M2 = M1 −M2. Ainsi, on trouve M1 et M2 explicitement en fonction de M :      M1 = 1 2(M +t M) M2 = 1 2(M −t M). 3. C’est-` a-dire telle que tM2 = −M2. 4. C’est-` a-dire telle que φ2(y, x) = −φ2(x, y) pour tout (x, y) ∈Rn × Rn. 2 R´ eciproquement, si M1 et M2 sont d´ efinies comme ci-dessus, elles sont bien respectivement sym´ etrique et antisym´ etrique et on a bien M = M1 + M2. Ce couple convient donc, et c’est l’unique possible. 2. On s’inspire du raisonnement de la question pr´ ec´ edente : si φ(x, y) = φ1(x, y) + φ2(x, y) pour tout (x, y) ∈Rn × Rn, avec φ1 sym´ etrique et φ2 antisym´ etrique, alors n´ ecessairement φ(y, x) = φ1(y, x) + φ2(y, x) = φ1(x, y) −φ2(x, y). Ainsi, on trouve      φ1(x, y) = 1 2(φ(x, y) + φ(y, x)) φ2(x, y) = 1 2(φ(x, y) −φ(y, x)). R´ eciproquement, si φ1 et φ2 sont d´ efinies comme ci-dessus alors le couple (φ1, φ2) convient. C’est donc l’unique possible. Remarque. On peut aussi passer par les matrices des formes bilin´ eaires, en remarquant que φ est sym´ etrique (resp. antisym´ etrique) si et seulement si sa matrice dans toute base l’est. 3 uploads/s3/ corrige-cc2.pdf

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Administrationetrique bilin´ forme d’une antisym´
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