École Supérieure Privée d’Ingénierie et de Technologies Méthodes numériques pou

École Supérieure Privée d’Ingénierie et de Technologies Méthodes numériques pour l’ingénieur Corrigé de la série d’exercices : Interpolation et approximation polynomiale Niveau : 3 A Année universitaire : 2020-2021 1. Partie Synchrone Exercice 1. Soient f la fonction définie par f(x) = sin[π 2 (x −1)] et les trois points x0 = 1, x1 = 3 2 et x2 = 2. (1) Calculer le polynôme P interpolant f en x0, x1 et x2. (2) En déduire une valeur approchée de f au point x = 1.75. (3) Calculer l’erreur d’interpolation au point d’abscisse x = 1.75. (4) Estimer l’erreur d’interpolation sur l’intervalle [1, 2]. Solution: (1) Pour déterminer le polynôme P interpolant f en x0, x1 et x2 il faut tout d’abord calculer les élements de la base de Lagrange L0, L1, L2. L0 = (x −x1)(x −x2) (x0 −x1)(x0 −x2) = (x −3 2)(x −2) (1 −3 2)(1 −2) = 2(x −3 2)(x −2) L1 = (x −x0)(x −x2) (x1 −x0)(x1 −x2) = (x −1)(x −2) ( 3 2 −1)( 3 2 −2) = −4(x −1)(x −2) L2 = (x −x0)(x −x1) (x2 −x0)(x2 −x1) = (x −1)(x −3 2) (2 −1)(2 −3 2) = 2(x −1)(x −3 2) On doit aussi calculer f(x0) = sin( π 2 (1 −1)) = sin(0) = 0, f(x1) = sin( π 2 ( 3 2 −1)) = sin( π 4 ) = √ 2 2 et f(x2) = sin(π 2 (2 −1)) = sin( π 2 ) = 1. D’ou P(x) = L0(x)f(x0) + L1(x)f(x1) + L2(x)f(x2) = 0 × 2(x −3 2)(x −2) + √ 2 2 × (−4)(x −1)(x −2) + 1 × 2(x −1)(x −3 2) = x2(2 −2 √ 2) + x(6 √ 2 −5) −4 √ 2 + 3. (2) on a P(1.75) = 0.905 ≃f(1.75) (3) On a E(1.75) =| f(1.75) −P(1.75) |=| 0, 905 −0.923 |= 0.018 (4) La fonction f est de classe C3 sur [1, 2] et on a: f(3)(t) = −π3 8 cos(π 2 (t −1) donc supt∈[1,2] |f(3)(t)| ⩽π3 8 . De plus ∀t ∈[1, 2], |t −1| × |t −3 2| × |t −2| ⩽1 × 1 2 × 1 = 1 2 Donc d’aprés le théorème de l’erreur d’interpolation, l’erreur maximal d’interpolation |E(t)| ⩽π3 96 Exercice 2 (Examen Mai 2019). Partie I : Interpolation polynomiale (1) Justifier l’existence d’un unique polynôme P2 ∈R2[X] interpolant les points (−2, 16), (0, −4) et (2, 8). (2) Déterminer l’expression du polynôme P2 par une méthode (vue en cours) de votre choix. Partie II : Approximation au sens des moindres carrées Dans l’objectif d’étudier le chemin de freinage d’un véhicule, correspondant à la distance parcourue en mètres (m) du début du freinage jusqu’à l’arrêt total du véhicule, en fonction de la vitesse en Kilomètres par heure (Km/h) de ce dernier, 12 expériences indépendantes ont été réalisées. Les résultats obtenus sont présentés dans le tableau ci-dessous. On note par X = (xi)1≤i≤12 et Y = (yi)1≤i≤12, où xi, et yi, désignent, respectivement, la vitesse du véhicule et le chemin de freinage associés à l’éxpérience i. (1) Déterminer les coefficients Z =  a b  de la droite f(t, Z) = a + bt, qui ajuste au mieux les points (xi; yi)1≤i≤12 au sens des moindres carrées. On donne les valeurs des sommes suivantes: 12 X i=1 xi = 1140; P12 i=1 x2 i = 122600 ; 12 X i=1 yi = 691; 12 X i=1 xiyi = 80840 (2) Rouler à une vitesse de 105 Km/h, le conducteur de ce véhicule pourrait-il éviter un obstacle survenant à une distance de 60 m? Justifir votre réponse. Solution: Partie I: Interpolation polynomiale (1) Les abscisses des points (−2, 16); (0, −4) et (2, 8) sont deux à deux distincts donc il existe un unique polynôme P2 ∈R2[x] passant par ces points. (2) Méthode de Lagrange: On considère les polynôme (Li)0≤i≤2 de Lagrange associés aux points (−2, 16); (0, −4) et (2, 8). L0(x) = x(x −2) 8 , L1(x) = x2 −4 −4 , L2(x) = x(x + 2) 8 Alors P2(x) = 16L0(x) −4L1(x) + 8L2(x) = 4x2 −2x −4 (3) Méthode de Newton: Le polynôme de Newton est donné par : P2(x) = α0w0(x) + α1w1(x) + α2w2(x) avec      w0(x) = 1 w1(x) = x + 2 w2(x) = x(x + 2) Détermination des coefficients α0; α1 et α2 par la méthode des differences divisées: On a : x0 = −2, y0 = 16 x1 = 0, y1 = −4 x2 = 2, y2 = 8 alors α0 = 16 = f[x0] , α1 = f[x0, x1] = −10, α2 = f[x1,x2]−f[x0,x1] x2−x0 = 4 Ainsi α0 = 16, α1 = −10 et α2 = 4 d’où: P2(x) = 16w0(x) −10w1(x) + 4w2(x) = 4x2 −2x −4 Partie 2: Approximation au sens des moindres carrés (1) Le vecteur Z =  a b  de la droite f(t, Z) = a + bt, qui ajuste au mieux les points (xi, yi)1≤i≤12 au sens des moindres carrés est celui qui minimise la fonction: F(Z, X) = 12 X i=1 (f(xi, Z) −yi)2 Il est donné par la relation suivante: Z∗= ( tAA)−1 tAY avec A =                    1 x1 1 x2 1 x3 1 x4 1 x5 1 x6 1 x7 1 x8 1 x9 1 x10 1 x11 1 x12                    On a : tAA =       12 12 X i=1 xi 12 X i=1 xi 12 X i=1 x2 i       =  12 1140 1140 122600  Cherchons ( tAA)−1? On sait que ( tAA)−1 = 1 det( tAA) tcom( tAA) avec det( tAA) = 12×122600−(1140)2 = 171600 et com ( tAA) =  122600 −1140 −1140 12  alors ( tAA)−1) = 1 171600  122600 −1140 −1140 12  D’autre part, tAY =  691 80840  Ainsi Z∗= ( tAA)−1) tAY =  −43, 36 1, 06  Donc f(t, Z) = −43, 36 + 1.06t (2) Une vaeur estimée du chemin de freinage du véhicule à une vitesse de 105km/h est donné par f(10.5; Z∗) = −43.36 + 1.06 × 10.5 = 68.21. Le conducteur du véhicule ne pourra pas éviter l’obstacle. 2. Partie Asynchrone Exercice 3. Soit P le polynôme interpolation la fonction x 7− →√x aux points x0 = 1, x1 = 3, x2 = 7.5, x3 = 9.1 et x4 = 12, exprimé dans la base des polynômes de Newton comme suit : P(x) = α0 + α1(x −1) | {z } P1(x) + α2(x −1)(x −3) | {z } P2(x) + α3(x −1)(x −3)(x −7.5) | {z } P3(x) + α4(x −1)(x −3)(x −7.5)(x −9.1) | {z } P4(x) avec α0 = 1, α1 ≃0.366, α2 ≃−0.0219, α3 ≃0.0017, et α4 ≃−1.1491 .10−4. Nous désignons par Pi, 1 ≤i ≤4, le polynôme interpolant les points Aj(xj, f(xj)), 0 ≤j ≤i. 1. Calculer les erreurs EPi(8) = |Pi(8) −f(8)|, 1 ≤i ≤4. Nous ordonnons maintenant les abscisses xi en fonction de leurs distances par rapport à x = 8. Nous considérons ainsi B0 = A2, B1 = A3, B2 = A4, B3 = A1 et B4 = A0. 2. Pour tout 1 ≤i ≤4, déterminer l’expression de Qi, le polynôme interpolant les points Bj(xj, f(xj)), 0 ≤j ≤i. 3. Calculer les erreurs EQi(8) = |Qi(8) −f(8)|, 1 ≤i ≤4. 4. Comparer les résultats des questions (1) et (3) et Conclure. uploads/s3/ corrige-serie-d-x27-exercices 1 .pdf

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