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Fiche 11 : Logarithme népérien et Exponentielle Logarithme népérien : • Définit

Fiche 11 : Logarithme népérien et Exponentielle Logarithme népérien : • Définition : La fonction f définie, continue et dérivable sur ] [ 0;+∞ et telle que (1) 0 1 '( ) f f x x =    =   s’appelle la fonction logarithme népérien et se note « ln ». On peut aussi définir la fonction « ln » comme la primitive de la fonction 1 x x → sur ] [ 0;+∞ qui s’annule en 1. • Limites : lim ln( ) x x →+∞ = +∞ ln( ) lim 0 x x x →+∞ = 0 limln( ) x x → = −∞ 0 lim ln( ) 0 x x x → = • Tableau de variation : • Règles opératoires : x ln1 0 lnab lna lnb lna xlna a 1 lne 1 ln lna lnb ln a lna b 2 = = + = = = − = • Logarithme et dérivation : Si u est une fonction définie, strictement positive et dérivable sur un intervalle I de R alors la fonction ln u ο est dérivable sur I et : ( ) u' ln u ' u ο = x 0 +∞ ∞ ∞ ∞ ln’(x) + ln(x) +∞ ∞ ∞ ∞ -∞ ∞ ∞ ∞ 1 e 1 x f(x)=ln(x) Fonction exponentielle • Définition : On appelle fonction exponentielle la bijection réciproque de la fonction logarithme népérien définie de R dans ] [ 0;+∞ et notée exp x ou ex. o Pour tout nombre réel x, exp x>0 (ou ex>0) o y=expx équivaut à x=lny o ln1=0 donc exp(0)=1 o lne=1 donc exp(1)=e o Pour tout nombre réel x, x lne x = o Pour tout nombre réel x strictement positif, lnx e x = La fonction exponentielle est dérivable sur R. Pour tout nombre réel x, (ex)’=ex. • Limites : x x x x x x x x lim e lim e 0 e lim lim xe 0 x →+∞ →−∞ →+∞ →−∞ = +∞ = = +∞ = • Tableau de variation : • Règles opératoires : a b a b x xlna x a a b a b ab b e e e a e (a 0) lna xlna e e (e ) e e + − = = > = = = • Exponentielle et dérivation : Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I de R alors la fonction u e est dérivable sur I et : ( ) u u e ' u'e = . • Puissances : Pour tous nombres strictement positifs a et a’ et tous nombres réels b et b’, b b b b' b b' b b' b' b b b b' bb' b b b b a lna blna a a a a a a a (a ) a a a' (aa') a' a' + − = × = =   = = =     • Croissances comparées : Soit α un nombre réel strictement positif, x x 0 x 0 lnx lim 0 limx lnx 0 x α α →+∞ → > = = Soit α un nombre réel quelconque, x x x x e lim lim x e 0 x α α − →+∞ →+∞ = +∞ = x -∞ ∞ ∞ ∞ +∞ ∞ ∞ ∞ exp’(x) + exp(x) +∞ ∞ ∞ ∞ 0 Fiche 11 : Fonctions logarithme népérien et exponentielle Résolvez dans R les équations proposées : 1 ln(2x 7) ln(x 3) + = − 2 lnx ln(3x 2) ln(2x 3) + + = + 3 ln(x 3) ln(x 7) ln(x 1) − = + − + 4 2 ln(x 2x 3) ln(x 7) − − = + 5 2 ln(x 4) ln5 2ln3 − = + 6 ln(x 2) ln5 2ln3 ln(x 2) + − = − − 7 ln 3 x ln x 1 ln 10 6x − + + = − Résolvez dans R les inéquations proposées : 1 2 ln(2x 3x 5) 2ln2 − − ≤ 2 ln(2x 5) ln(x 1) 2ln2 − + + ≤ 3 2 ln(x 1) ln(4x 1) − > − 4 ln(x 1) ln(4x 1) ln(x 1) + > − − − 5 2 (lnx) lnx 6 0 − − < Déterminez les limites des fonctions proposées aux bornes de l’intervalle I 1 f(x) x lnx = − I ∗ + = 2 f(x) 2x 1 lnx = + − I ∗ + = 3 f(x) (x 1) ln(x 1) = + − + ] [ I 1 ; = −+∞ 4 2 f(x) x lnx = − I ∗ + = 5 2x 1 f(x) ln x 1 − = + ] [ I ; 1 = −∞− 6 1 x f(x) ln1 x − = + ] [ I 1 ;1 = − 7 2 f(x) x ln(x) = I ∗ + = 8 f(x) xln( x) = I ∗ + = Déterminez la fonction dérivée de chacune des fonctions proposées 1 ] [ f(x) ln(2x 1) sur 0.5; = − +∞ 2 2 f(x) ln(x x 1) sur = + + 3 ] [ f(x) x 2 ln(x) sur 0; = + + +∞ 4 ] [ 2 f(x) x 8ln(x) 1 sur 0; = − − +∞ 5 ] [ f(x) xln(x) sur 0; = +∞ 6 ] [ 2 f(x) x(lnx) sur 0; = +∞ 7 ] [ 2 f(x) (xlnx) sur 0; = +∞ 8 ] [ lnx f(x) sur 0; x = +∞ 9 ] [ x 1 f(x) ln sur 1 ; x 2 + = −+∞ + 10 ] [ x 1 f(x) 2x ln sur ; 1 x + = + −∞− 11 ] [ 1 f(x) ln sur 2; 2(x 2) = − +∞ + Etude de fonctions : 1 Etudiez les variations de la fonction f telle que 2 lnx f(x) x = , tracez sa courbe représentative. Montrez que les axes sont asymptotes 2 Etudiez la fonction f telle que f(x) 2x 1 lnx = −− sur ] [ 0;+∞, tracez sa courbe représentative et recherchez les asymptotes éventuelles. Ecrivez le plus simplement possible, les nombres et les expressions donnés : 1 1 1 ln8 ln ln3 ln2 2ln3 1 ln2 2 4 e , e , e , e , e , e − − + 2 3 2 1 lne , ln e, ln(lne), ln e 2       3 ( ) ( ) 1 3 1 2 2 4 3 3 1 27 , 64 , (16) , 9 −       4 x 2x x 3x 1 1 x 2x 3 e e , e e , e e − − + − + × × × 5 x 4 x 2 ln(x) x lnx ¨(e ) , (e ) , e , e − − + 6 2 x 1 2x lnx lnx 2x 1 x x x e e e e , , , e e lne lne + − − − 7 2 1 1 3 2 1 3 2 2 x x , x x , x x − − × × × Déterminez les réels a et b assurant pour tout x l’égalité proposée : 1 x x x e 2 b a 2e 1 2e 1 − = + + + 2 x x x e 1 b a 3e 1 3 e− − = + + + 3 2x x x x e b ae e 1 1 e− = + + + Résolvez dans R les équations proposées 1 2 x 2 3x 1 x 3 x 1 2x e 1 , e e , e e − + −+ + = = = 2 x x x 3 4, 2 5, 4 3 − = = = 3 x x x x x x e 1 1 e e , 1 e 4 2 e e − − + − = = − + 4 2 2x x X 3X 4 0; e 3e 4 0 + − = + − = 5 x x 4x 2x e (2e 1) 3, 8e 6e 1 0 − = − + = Résolvez dans R les inéquations proposées 1 x x 2x x e 2, e 1 , e e − − < ≥ ≤ 2 ( )( ) x x e 1 e 4 0 − − − < 3 ( )( ) 2x x e 1 2e 1 0 − + ≥ 4 2x 1 3 x e 1 , 2e 5 − − > ≤ 5 2 x x X X 2 0, 4 2 2 0 − − ≥ − − ≥ Etudiez les limites des fonctions proposées aux bornes de leur ensemble de définition. Distinguez, si cela est nécessaire, l’étude à gauche et à droite en un point. 1 x x f(x) x e , f(x) uploads/s3/ 11-lnexp.pdf