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26 CORRIGE TD n°5 EXERCICE 1 : Miroirs de Fresnel Une source lumineuse ponctuel

26 CORRIGE TD n°5 EXERCICE 1 : Miroirs de Fresnel Une source lumineuse ponctuelle S, monochromatique de longueur d'onde λ0 éclaire deux miroirs plans (M1) et (M2) faisant un petit angle α. Le rayon incident SO fait l'angle θ avec la normale au miroir (M2). On pose SO = L et on appelle l la largeur de chaque miroir (on suppose l << L ). On observe les interférences sur un écran normal à la médiatrice de S1S2 (ou S1 et S2 sont les images de S par les deux miroirs) et situé à la distance D >> S1S2 du point O. 1. Construire les faisceaux réfléchis. Justifier qualitativement quand positionnant correctement l'écran d'observation on observe un phénomène d'interférence dont la largeur est proportionnelle à D. 2. Calculer l'interfrange io pour la radiation λo. AN: α = 12,5 mrad ; D = 2,5 m; L = 0,5 m; λo = 0,5 µm. CORRECTION : 1. Soient S1 et S2 les images de S par rapport à M1 et M2. On observe qu’il y a une zone où les faisceaux se recouvrent. S1 et S2 sont par construction des sources secondaires cohérentes avec S. 27 On peut placer l’écran dans la zone d’interférences parallèlement à S1 et S2. En pratique l’angle α est très petit et donc l’écran est placé perpendiculairement au miroir M2. 2. On est dans la situation où le plan d’observation des interférences est parallèle à l’axe (S1S2) avec la distance S1S2 petite devant la distance d’observation D. 1 2 2 S S L α = .. La différence de marche est 1 2 S S x D δ = . On a donc pour l’interfrange ( ) 1 2 0 0 S S i D L λ = + . Soit ( ) ( ) 0 0 0 1 2 0,12 mm 2 D L D L i S S L λ λ α + + = = = . EXERCICE 2 : Système interférentiel de Mach Zenhder On considère le système interférentiel de Mach Zenhder représenté sur le schéma ci-desssus. Les deux séparatrices et les deux miroirs sont parallèles entre eux et une onde plane monochromatique incidente d’amplitude E0 et de longueur d’onde λ = 0,5 µm arrive sur la première séparatrice avec un angle de 45°. Les lames séparatrices SP1 et SP2 sont identiques et d’épaisseur négligeable. Elles sont semi-transparentes : le facteur de réflexion ou de transmission pour l’intensité est égal à ½. Les miroirs M1 et M2 sont identiques et leur facteur de réflexion est égal à 1 pour l’intensité. Les longueurs des deux bras de l’interféromètre sont rappelés dans la figure ci-dessus. On observe l’intensité sur un écran en sortie de l’interféromètre. 1. Le système interférentiel est-il à division du front d’onde ou à division d’amplitude ? 2. Dans quelles zones peut-on observer des interférences ? 3. Calculer la différence de marche puis le déphasage entre les deux ondes à la sortie de l’interféromètre en direction de l’écran 4. Donner l’expression du champ électrique à la sortie de l’interféromètre, en écriture complexe. En déduire l’expression du champ conjugué. 5. Donner l’expression de l’éclairement observé à l’écran. Qu’observe-t-on ? 6. On place entre le miroir M2 et la lame SP2 une cellule d’épaisseur e remplie de gaz d’indice n=1,0001. Quels sont la différence de marche et le déphasage introduits par la cellule de gaz. d d 3d 3d écran 28 7. Donner la nouvelle expression du champ électrique à la sortie de l’interféromètre, celle du champ conjugué ainsi que l’éclairement observé à l’écran. 8. Quelle doit être l’expression de l’épaisseur minimale de la cellule remplie de gaz pour avoir une extinction totale sur l’écran ? CORRECTION : 1. C’est un dispositif à division d’amplitude. Une lame séparatrice est utilisée. 2. On peut observer des interférences en deux endroits, à droite et au-dessus de la deuxième lame séparatrice. 3. Le chemin 1 part de la source, traverse la lame séparatrice SP1, est réfléchie par le miroir M2 et est finalement réfléchie par la lame séparatrice SP2 (4d). Le chemin 2 part de la source, est réfléchie par la lame séparatrice SP1, puis par le miroir M1 et finalement traverse la lame séparatrice SP2 (4d). La différence de marche est donc nulle ainsi que la différence de phase. 4. Le facteur de transmission d’une lame séparatrice est 1/ 2 . Le facteur de réflexion d’une lame séparatrice est 1/ 2 . Pour le chemin 1, le faisceau est transmis une fois et est réfléchie une fois, on en déduite que l’amplitude subit un facteur ½. La situation est identique pour le chemin 2. L’amplitude doit être multipliée par le facteur ½. Pour déterminer le champ sur l’écran, on utilise le théorème de superposition ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 2 0 ( ) exp 4 exp 4 exp 4 2 2 E E E M E M E M i t kd i t kd E i t kd ω ω ω = + = − + − = − On en déduit l’expression du champ conjugué : ( ) * 0 ( ) exp 4 E M E i t kd ω = − − . 5. On en déduit que l’éclairement est ( ) ( ) ( ) * 2 0 0 M E M E M E = = = E E . L’éclairement est indépendant de la position de l’écran, on observe donc un éclairement uniforme. 6. Le chemin 2 doit maintenant traverser une cellule d’épaisseur e et d’indice n=1,0001. La différence de marche introduite est donc : ( ) air e n n δ = × − , ce qui introduit une différence de phase ( ) 2 air e n n π ϕ λ × − = 7. On en déduit qu’à la sortie de la lame séparatrice, la nouvelle expression du champ à sa sortie est : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 ( ) exp 4 exp 4 exp 4 1 exp 2 2 2 E E E E M i t kd i t kd i t kd i ω ω ϕ ω ϕ = − + − − = − + − L’expression du champ conjugué est alors : ( ) ( ) ( ) * 0 ( ) exp 4 1 exp 2 E E M i t kd i ω ϕ = − − + + . L’éclairement est alors : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 * 0 0 0 1 exp 1 exp 1 cos 1 cos 4 2 2 E E M E M E M i i ϕ ϕ ϕ ϕ = = + − + = + = + E E 29 8. Pour avoir une extinction totale sur l’écran, il faut que le déphasage [ ] 2 ϕ π π = ou ( ) 2 1 avec k entier k ϕ π = + . C'est-à-dire que ( ) ( ) 2 2 1 air e n n k π π λ × − = + ou encore ( ) ( ) 2 1 2 air k e n n λ + = − . Pour avoir l’épaisseur minimale il suffit de prendre k = 0. On a alors ( ) 250 µm 2 air e n n λ = = − . EXERCICE 3 : interféromètre de Michelson (franges d’égale inclinaison) Un interféromètre de Michelson est constitué par une lame semi-réfléchissante, non absorbante, appelée séparatrice (Sp), dont les facteurs de transmission et de réflexion valent ½, et deux miroirs plans (M1) et (M2) perpendiculaires l’un à l’autre. La lame (Sp) est inclinée à 45° par rapport aux normales à (M1) et (M2). L’interféromètre est plongé dans l’air dont on prendra l’indice de réfraction égal à 1. La source S est ponctuelle et monochromatique, de longueur d’onde λ = 0,4227 µm. Par construction, IA2 = IA1 + l avec l = 1 cm. On observe le phénomène d’interférence dans le plan focal P d’une lentille mince convergente L de distance focale f’ = 1 m. 1. Montrer que les franges d’interférences obtenues dans (P) sont des anneaux. 2. En supposant l’ordre d’interférence p0 entier au centre (i=0), calculer le rayons des cinq premiers anneaux brillants. 3. Calculer la demi-largeur des anneaux ; on la définit en disant que si, dans la direction du maximum de lumière l’éclairement est EM, on trouve à demi-largeur l’éclairement EM/2. (On ne calculera pas la demi-largeur du disque central). CORRECTION : 1. Le plan P étant le plan focal image de la lentille L, les rayons qui arrivent en un point de P appartenaient avant la lentille à un faisceau parallèle. La direction de ce faisceau s’obtient en considérant le rayon particulier qui passe par le centre de la lentille. Ce rayon n’est pas dévié. Cette direction correspond donc à l’angle i indiqué sur uploads/s3/ corrige-td5.pdf