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1 Module : Méthodes numériques appliquées Séance n°1 du : 07/04/2020 Titre du c

1 Module : Méthodes numériques appliquées Séance n°1 du : 07/04/2020 Titre du cours : équations différentielles ordinaires Dr. DJILANI KOBIBI Youcef Islam Maitre de conférences « B » y.djilani.kobibi@univ-mascara.dz I – Plan du cours I Introduction ..................................................................................................................................... 2 II Définition ..................................................................................................................................... 2 II.1 La forme générale ................................................................................................................ 2 II.2 Les problèmes différentiels à conditions initiales ................................................................ 2 II.3 Classification des EDOs....................................................................................................... 2 III EDOs et applications d’ingénierie ............................................................................................... 2 IV Résolution des EDOs ................................................................................................................... 3 IV.1 Méthode d’Euler .................................................................................................................. 3 IV.2 Méthodes de Runge Kutta .................................................................................................... 4 IV.2.1 Runge Kutta d’ordre 2 ............................................................................................................. 4 IV.2.2 Runge Kutta d’ordre 3 ............................................................................................................. 4 IV.2.3 Runge Kutta d’ordre 4 ............................................................................................................. 5 V Conclusion : ................................................................................................................................. 6 VI Questions : ................................................................................................................................... 6 VII Bibliographie ........................................................................................................................... 6 2 I Introduction Un très grand nombre de phénomènes physiques ou techniques admettent des modèles mathématiques qui impliquent des équations différentielles. Les solutions analytiques permettent de résoudre une minorité de ces équations, particulièrement les équations linéaires, mais en réalité les équations différentielles ordinaires sont de moins en moins linéaires ce qui implique une difficulté pour la résolution. L’objectif de ce cours est de présenter les notions générales des équations différentielles ordinaires, et de décrire quelques familles d’algorithmes de résolutions de problèmes différentiels. A la fin de ce cours l’étudiant sera en mesure de connaitre les notions des équations différentielles ordinaires et sera capable d’appliquer les méthodes de résolutions. II Définition II.1 La forme générale La forme générale des équations différentielles ordinaires est la suivante : ( ) , dy f x y dx = (1) Dans l’équation (1) la quantité étant différentiée, y, est appelée variable dépendante. Car y(x) est une fonction qui dépend de x, x est appelé variable indépendante. La variable dépendante doit impliquer une seule variable indépendante. II.2 Les problèmes différentiels à conditions initiales Les EDOs (équations différentielles ordinaires) à conditions initiales ont la forme suivante : 0 0 ( , ) ( ) dy f x y dx y x y  =    =  (2) II.3 Classification des EDOs Les EDOs peuvent être classé selon leurs ordres, selon l’ordre de différentiation le plus élevé (1er, 2ème ordre. … etc). On peut les classer aussi selon la linéarité (linéaire ou non linèaire) Exemple : ( ) 2 0 1 dv v dt v  =    =  La variable dépendante est v(t), la variable indépendante est t, t0=0, v0=1, 1er ordre linéaire. ² sin 2 ² (1) 2 d y y x dx y  = −    =  La variable dépendante est y(x), la variable indépendante est x, x0=1, y0=2, 2ème ordre (2ème dérivée) non linéaire(sinus). III EDOs et applications d’ingénierie Les lois fondamentales de la physique, mécanique, l'électricité et de la thermodynamique sont généralement basées sur des observations empiriques qui expliquent les variations des propriétés physiques 3 et des états des systèmes. Plutôt que de décrire directement l'état des systèmes physiques, les lois sont généralement formulées en termes de changements spatiaux et temporels, le tableau 1 contient quelques exemples. Tableau 1Exemples des lois fondamentaux sous forme EDO avec x=position, t= temps Loi Expression mathématique Variables et paramètres Deuxième loi de mouvement de Newton dv F dt m = v(t) vitesse, F force, m masse Loi de chaleur de Fourier ' dT q k dx = − q flux de chaleur, k’ conductivité thermique, T(x) température Loi de Fick de diffusion dc J D dx = − J flux massique, D coefficient de diffusion, c(x) concentration Loi de Faraday (chute de tension d’une inductance) L di V L dt  = ΔVL chute de tension, L inductance, i(t) courant Exemple : Figure 1 Circuit RL La variable dépendante est i(t), la variable indépendante est t, t0=0, i0=0, 1er ordre linéaire. IV Résolution des EDOs IV.1 Méthode d’Euler La méthode d’Euler est basée sur le calcul de la nouvelle valeur de la variable dépendante qui est prédite en utilisant la pente (égale à la première dérivée à la valeur initiale) pour extrapoler linéairement sur un pas h comme le montre la figure 2. Figure 2 méthode d’Euler. La méthode d’Euler est donnée par l’équation suivante : ( ) 1 1 . , i i i i i i x x h y y h f x y + + = +   = +  (3) h xi xi+1 exacte prédite Erreur x y (0) 0 di Ri L V dt i  + =    =  4 Exemple : On reprend le circuit RL, R=6Ω, V=12V, L=2H, l’équation est donnée par : ( ) ( ) 6 2 12 6 3 0 0 0 0 di di i i dt dt i i   + = = −        = =   On utilise un pas h=0,1, calculer le courant à t=0,2, i(0,2) Solution : ( ) ( ) 1 1 0 1 1 0 0 . , 6 3 i i i i i i t t h t t h i i h f i y i i h i + +  = + = +      = + = + −    (A.N) ( ) ( ) 1 1 0 0,1 0,1 0 0,1 6 3 0 0,6 t i = + =   = + − =   Alors à t=0,1s, i=0,6A On refait le même calcul pour obtenir i à t=0,2s ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 2 1 1 0,1 0,1 0,2 0,1 0,6 0,1 6 3 0,6 1,02 0,1 6 3 t t t i i i i = + = = +       = + − = = + −    Alors à t=0,2s, i=1,02A IV.2 Méthodes de Runge Kutta Les méthodes de Runge-Kutta (RK) permettent d'obtenir la précision d'une approche de la série Taylor sans avoir besoin de calculer de dérivés plus élevés. Différentes méthodes de Runge-Kutta peuvent être conçus en utilisant différents nombres de termes dans la fonction d'incrémentation. Notez que la méthode RK de premier ordre avec est, en fait, la méthode d'Euler. IV.2.1 Runge Kutta d’ordre 2 Cette méthode est donnée par l’équation suivante : ( ) ( ) 1 1 1 2 1 2 1 2 , , . 2 2 i i i i i i i i x x h h y y k k k f x y h h k f x y k + + = + = + + =   = + +     (4) IV.2.2 Runge Kutta d’ordre 3 Cette méthode est donnée par l’équation suivante : ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 3 1 2 1 3 1 2 4 6 , , . 2 2 , 2 i i i i i i i i i i x x h h y y k k k k f x y h h k f x y k k f x h y k h k h + + = + = + + + =   = + +     = + − + (5) 5 IV.2.3 Runge Kutta d’ordre 4 Cette méthode est donnée par l’équation suivante : ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 3 4 1 2 1 3 2 4 3 2 2 6 , , . 2 2 , . 2 2 , . i i i i i i i i i i i i x x h h y y k k k k k f x y h h k f x y k h h k f x y k k f x h y h k + + = + = + + + + =   = + +       = + +     = + + (6) Exemple : On reprend l’exemple de circuit RL ( ) 6 3 0 0 di i dt i  = −    =  Utiliser les méthodes de Runge Kutta pour calculer le courant à t=0,2s avec h=0,1 Runge kutta d’ordre 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 0 0 2 0 0 1 1 0 1 2 0,1 , 6 3 0 6 , 0,05, 0,3 6 3 0,3 5,1 2 2 0,1 0 6 5,9 0,595 2 2 t t h k f t i h h k f t i k f h i i k k A = + = = = − =   = + + = = − =     = + + = + + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 2 uploads/s3/ cours-1.pdf